设总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是一容量为 $n$ 的样本, 其均值记为 $\bar{X}$, 标准差记为 $s$, 则有
（1）
\[
\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),
\]
或等价的,
\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).
\]
（2）
\[
\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),
\]
\[
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]
（3）
\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1).
\]
References:
赵静、但琦 等编 《数学建模与数学实验》 高等教育出版社 P. 186.
1
这里 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}X_i$, 每个 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$.
根据正态分布的性质（参见问题2131）
\[
\mu(\bar{X})=\mu(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu(X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu=\mu.
\]
\[
D(\bar{X})=\sum_{i=1}^{n}c_i^2 \sigma_i^2=\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{n})^2 \sigma^2=\frac{1}{n}\sigma^2
\]
因此, $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{1}{n}\sigma^2)$, 通过变量代换, 这等价于
\[\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1).\]
2
由于 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$, 因此 $V_i:=\frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$, $\forall i=1,2,\ldots,n$.
记 $\{V_i\}_{i=1}^{n}$ 不是独立的, 事实上
\[
\sum_{i=1}^{n}V_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i-\mu}{\sigma}=\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)=\frac{1}{\sigma}\cdot\Bigl((\sum_{i=1}^{n}X_i)-n\mu\Bigr)
\]
显然 $E(\sum_{i=1}^{n}V_i)=\sum_{i=1}^{n}E(V_i)=0$. 因此 $\{V_i\}_{i=1}^{n}$ 不是互相独立的.
若 $V_i=X_i-\bar{X}$, 这里 $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$, 则 $V_n$ 可以由 $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 线性表示. 另一方面, $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 是互相独立的.
事实上,
\[
\begin{pmatrix}
V_1\\ V_2\\ \vdots\\ V_{n-1}\\ V_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
-\frac{1}{n} & 1-\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots & \vdots \\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & 1-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n}\\
-\frac{1}{n} & -\frac{1}{n} & \cdots & -\frac{1}{n} &1-\frac{1}{n} \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X_1\\ X_2\\ \vdots\\ X_{n-1}\\ X_n
\end{pmatrix}
\]
简记为 $\vec{V}=A\vec{X}$. 容易验证 $|A|=0$. (关于 $A$ 这个矩阵, 可以参见问题1379), 并且 $\mathrm{rank}(A)=n-1$. 事实上, $A$ 的左上角 $n-1$ 阶方阵的行列式非零(等于 $\frac{1}{n}$, 参加问题2143).
因此 $\{V_i\}_{i=1}^{n-1}$ 是独立的.
根据 $\chi^2$-分布的定义, 知
\[
\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]
注意到 $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$, 因此
\[
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1).
\]
3
根据 (1),
\[\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\]
令 $Y=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$, 则由 (2), $Y\sim\chi^2(n-1)$, 于是根据 t-分布的定义知,
\[
\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{Y}{n-1}}}\sim t(n-1).
\]
容易计算
\[
\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\frac{Y}{n-1}}}=\frac{\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\frac{s}{\sigma}}=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}},
\]
因此, 我们有
\[
\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1).
\]