证明: 对于 $n\geqslant 1$, 有
\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 4^n.\]
顺便回忆当 $n\geqslant 9$ 时, $4^n < n!$. (参见问题1094)
Hanson 于1972年证明了
\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 3^n,\quad n\geqslant 2.\]
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当 $n=2,3$ 时, $\prod_{p\leqslant n}p < 4^n$ 显然成立.
对 $n$ 归纳. 不妨设 $n\geqslant 3$. 若 $n$ 是偶数, 则不是素数, 故
\[
\prod_{p\leqslant n}p=\prod_{p\leqslant n-1}p < 4^{n-1} < 4^n.
\]
若 $n$ 是奇数, 设 $n=2m+1$. 由 $\binom{2m+1}{m}=\frac{(2m+1)!}{m!(m+1)!}$ 知对于 $m+1 < p\leqslant 2m+1$ 的素数 $p$, 必整除 $\binom{2m+1}{m}$, 于是
\[
\biggl(\prod_{m+1 < p\leqslant 2m+1}p\biggr)\biggr|\binom{2m+1}{m} < \frac{1}{2}2^{2m+1}=4^m.
\]
这里不等号之所以成立, 是因为在 $(1+1)^{2m+1}$ 的二项式展开中, $\binom{2m+1}{m}=\binom{2m+1}{m+1}$ 出现了两次. 当然这里的放缩比较粗糙.
对 $m+1 < n$ 用归纳假设, 得
\[
\prod_{p\leqslant n}p=\prod_{p\leqslant m+1}p\prod_{m+1 < p\leqslant 2m+1}p < 4^{m+1}4^m=4^n,
\]
从而得证.
Remark:
Gérald Tenenbaum, 《解析与概率数论导引》，陈华一 译.