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问题及解答

求 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\Bigl[\frac{2i+j}{n}\Bigr]$.

Posted by haifeng on 2016-11-29 09:28:53 last update 2016-11-29 09:30:59 | Edit | Answers (1)

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\biggl[\frac{2i+j}{n}\biggr].\]

 

这里 $\bigl[x\bigr]$ 表示对数 $x$ 进行取整.

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Posted by haifeng on 2016-11-29 10:11:45

\[
\begin{split}
&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\biggl[\frac{2i+j}{n}\biggr]\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\biggl(\sum_{n\leqslant 2i+j < 2n}1+\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}2+\quad 3\biggr)\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\biggl(\sum_{n\leqslant 2i+j < 2n}1+\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}1+\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}1\biggr)+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^2}\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\biggl(\sum_{n\leqslant 2i+j < 3n}1+\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}1\biggr)\\
\end{split}
\]

上面第一个等号中的 3, 仅当 $i=n$ 且 $j=n$ 时取得.

 

注意 $\sum_{n\leqslant 2i+j < 3n}1$ 计算的是直线 $L_1: y=3n-2x$ 与 直线 $L_2: y=n-2x$, 以及 $x$ 轴, $y$ 轴所围区域中的整数格点的个数. 这里不包含 $x$ 轴、$y$ 轴以及直线 $L_2$ 上的格点.

不妨设 $n$ 是偶数,

\[
\begin{split}
\sum_{n\leqslant 2i+j < 3n}1&=(3n-n)\cdot(\frac{n}{2}-1)+\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\\
&=2n^2-2n
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}1&=(3n-2n)\cdot(n-1)+\sum_{k=1}^{n/2}(2k-1)\\
&=\frac{5}{4}n^2-n.
\end{split}
\]

于是

\[
\begin{split}
&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\biggl(\sum_{n\leqslant 2i+j < 3n}1+\sum_{2n\leqslant 2i+j < 3n}1\biggr)\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\Bigl(2n^2-2n+\frac{5}{4}n^2-n\Bigr)\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\bigl(\frac{13}{4}n^2-3n\bigr)\\
=&\frac{13}{4}.
\end{split}
\]