问题及解答

设 $\alpha\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}^+$. 则存在正整数 $a,b$, $1\leqslant a\leqslant n$, 使得

\[
|a\alpha-b| < \frac{1}{n}.
\]

考虑 $j\alpha$ 的小数部分 $\{j\alpha\}$, 这里 $j=0,1,2,\ldots,n$.

注意到这 $n+1$ 个数位于 $n$ 个互不相交的区间

\[
[0,\frac{1}{n}),\quad [\frac{1}{n},\frac{2}{n}),\ldots,[\frac{j-1}{n},\frac{j}{n}),\ldots,[\frac{n-1}{n},1)
\]

中. 根据鸽笼原理, 至少有两个数(不妨设为 $\{h\alpha\}, \{k\alpha\}$)落在同一区间中. 这里 $0\leqslant h < k\leqslant n$. 即

\[
|\{k\alpha\}-\{h\alpha\}| < \frac{1}{n}
\]

现在令 $a=k-h$, $b=[k\alpha]-[h\alpha]$, 容易验证 $|a\alpha-b| < \frac{1}{n}$. 事实上,

\[
\begin{split}
|a\alpha-b|&=|(k-h)\alpha-b|\\
&=|(k-h)\alpha-([k\alpha]-[h\alpha])|\\
&=|(k\alpha-[k\alpha])-(h\alpha-[h\alpha])|\\
&=|\{k\alpha\}-\{h\alpha\}|\\
& < \frac{1}{n}
\end{split}
\]