问题及解答

用 Lagrange 中值定理证明

\[
\frac{1}{x+1} < \ln(x+1)-\ln x <\frac{1}{x}.
\]

\[
P_i=\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}\frac{C_{ij}}{S_i}
\]

$f(t)=\ln t$ 在区间 $[x,x+1]$ 上应用 Lagrange 中值定理, 存在 $\xi\in(x,x+1)$, 使得

\[
\ln(x+1)-\ln x=f'(\xi)(x+1-x)=\frac{1}{\xi}\cdot 1.
\]

而 $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{\xi} < \frac{1}{x}$, 故得证.