问题及解答

设 $A$ 是 $n$ 阶下三角矩阵, 且对角线元素都为 1. 记 $B=(A^{-1})^T$.

证明: $A$ 的任意 $k$ 阶子式等于 $B$ 中相应 $k$ 阶子式的代数余子式.

设

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
a_{21} & 1 & 0 & \cdots & 0\\
a_{31} & a_{32} & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & 1\\
\end{pmatrix}
\]

则 $A^{-1}$ 也是下三角矩阵, 并且对角线元素也都是 1. 且

\[
A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
A_{12} & 1 & 0 & \cdots & 0\\
A_{13} & A_{23} & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots\\
A_{1n} & A_{2n} & A_{3n} & \cdots & 1\\
\end{pmatrix}
\]

于是

\[
B=(A^{-1})^T=\begin{pmatrix}
1 & A_{12} & A_{13} & \cdots & A_{1n}\\
0 & 1 & A_{23} & \cdots & A_{2n}\\
0 & 0 & 1 & \cdots & A_{3n}\\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{pmatrix}
\]

任取 $A$ 的 $k$ 阶子式

\[
A\biggl(\begin{matrix}
i_1 & i_2 &\cdots & i_k\\
j_1 & j_2 &\cdots & j_k\\
\end{matrix}\biggr)
\]

这里 $1\leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k\leqslant n$, $1\leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_k\leqslant n$. 即由第 $i_1,i_2,\ldots,i_k$ 行和第 $j_1,j_2,\ldots,j_k$ 列相交位置的元素所组成的行列式.

设 $i_{k+1} < \cdots < i_n$ 是 $\{1,2,\ldots,n\}\setminus\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}$ 的自然顺序排列. $j_{k+1} < \cdots < j_n$ 是 $\{1,2,\ldots,n\}\setminus\{j_1,j_2,\ldots,j_k\}$ 的自然顺序排列.

于是我们有 Laplace 展开定理. (按某些行展开, 比如这里按照选定的第 $i_1,i_2,\ldots,i_k$ 行展开)

Laplace 展开定理

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$, 则行列式 $|A|$ 可以按 $1\leqslant i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leqslant n$ 展开为如下形式

\[
|A|=\sum_{1\leqslant j_1 < \ldots < j_n\leqslant n}A\begin{pmatrix}
i_1&\cdots&i_k\\
j_1&\cdots&j_k
\end{pmatrix}
\cdot (-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}
A\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix},
\]

这里 $A\begin{pmatrix}
i_1&\cdots&i_k\\
j_1&\cdots&j_k
\end{pmatrix}$ 是指由矩阵 $A$ 中 第 $i_1,\ldots,i_k$ 行与第 $j_1,\ldots,j_k$ 列相交部分所组成的 $k$ 阶方阵的行列式. 于是 $A\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix}$ 就是其余子式. 称 $(-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}
A\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix}$ 为 $A\begin{pmatrix}
i_1&\cdots&i_k\\
j_1&\cdots&j_k
\end{pmatrix}$ 的代数余子式.

于是

\[
\begin{split}
1=|B|&=\sum_{1\leqslant j_1 < \ldots j_n \leqslant n}B\begin{pmatrix}
i_1&\cdots&i_k\\
j_1&\cdots&j_k
\end{pmatrix}
\cdot (-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}
B\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix}\\
&=\sum_{1\leqslant j_1 < \ldots < j_n\leqslant n} (A^{-1})\begin{pmatrix}
j_1&\cdots&j_k\\
i_1&\cdots&i_k
\end{pmatrix}
\cdot (-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}
(A^{-1})\begin{pmatrix}
j_{k+1}&\cdots&j_n\\
i_{k+1}&\cdots&i_n
\end{pmatrix},
\end{split}
\]

因此, 

\[
\begin{split}
A\biggl(\begin{matrix}
i_1 & i_2 &\cdots & i_k\\
j_1 & j_2 &\cdots & j_k\\
\end{matrix}\biggr)&=(-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}\cdot A^{-1}\biggl(\begin{matrix}
j_{k+1} & j_{k+2} &\cdots & j_n\\
i_{k+1} & i_{k+2} &\cdots & i_n\\
\end{matrix}\biggr)\\
&=(-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}\cdot B\biggl(\begin{matrix}
i_{k+1} & i_{k+2} &\cdots & i_n\\
j_{k+1} & j_{k+2} &\cdots & j_n\\
\end{matrix}\biggr)
\end{split}
\]

由于 $|A|=1$, 故 $AA^{*}=I_n$. 类似于 

\[
\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\delta_{ij},
\]

对于 $A\begin{pmatrix}
i_1&\cdots&i_k\\
j_1&\cdots&j_k
\end{pmatrix}$ 与 $A\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix}$ 也有类似的公式.

因此, 从 Laplace 展开式, 我们可以看出

\[
(-1)^{i_1+\cdots+ i_k+j_1+\cdots +j_k}\cdot A\begin{pmatrix}
i_{k+1}&\cdots&i_n\\
j_{k+1}&\cdots&j_n
\end{pmatrix}=A^{*}\begin{pmatrix}
j_1&\cdots&j_k\\
i_1&\cdots&i_k\\
\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}
j_1&\cdots&j_k\\
i_1&\cdots&i_k\\
\end{pmatrix}
\]

因此 $A$ 的任意 $k$ 阶子式等于 $B=(A^{-1})^T$ 的相应的 $k$ 子式的代数余子式.

例如:

\[
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\quad \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

于是

\[
B=(A^{-1})^T=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\]

\[
A\biggl(
\begin{matrix}
3 & 4\\
1 & 3
\end{matrix}
\biggr)=\begin{vmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{vmatrix}=-1,\quad B\biggl(
\begin{matrix}
1 & 2\\
2 & 4
\end{matrix}
\biggr)=\begin{vmatrix}
0 & -1\\
1 & -1\\
\end{vmatrix}=1
\]