平面截椭球面得到的曲线是圆的充要条件
平面截椭球面
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\qquad(0 < a < b < c)
\]
得到的截线是圆当且仅当截平面的方程是 $x\sqrt{\alpha}\pm z\sqrt{\beta}=\lambda$,其中 $\alpha=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}, \beta=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}$。
平面截椭球面
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\qquad(0 < a < b < c)
\]
得到的截线是圆当且仅当截平面的方程是 $x\sqrt{\alpha}\pm z\sqrt{\beta}=\lambda$,其中 $\alpha=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}, \beta=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}$。
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根据定理 , 只要考虑截平面过原点的情形即可. 假设截线是半径为$r$的圆, 那么圆上的点在球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 上. 因为这些点页在椭球面上, 它们在曲面
\[
x^2(\frac1{a^2}-\frac1{r^2})+y^2(\frac1{b^2}-\frac1{r^2})+z^2(\frac1{c^2}-\frac1{r^2})=0
\]
若 $x^2,y^2$ 和 $z^2$ 的系数均不为零,那么曲面是锥(或者是一个点). 因此, 以原点为圆心的圆在曲面上当且仅当系数 $1/a^2-1/r^2,1/b^2-1/r^2$ 和 $1/c^2-1/r^2$ 全为零并且另外两个系数异号。考虑到 $0 < a < b < c$, 我们有 $r=b$.