已知二次曲面 $\Sigma$ (非退化)过以下九点:
\[
\begin{aligned}
A(1,0,0),\quad B(1,1,2),\quad C(1,-1,-2),\\
D(3,0,0),\quad E(3,1,2),\quad F(3,-2,-4),\\
G(0,1,4),\quad H(3,-1,-2),\quad I(5,2\sqrt{2},8).
\end{aligned}
\]
问 $\Sigma$ 是哪一类曲面?
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易见 $A=(1,0,0), B=(1,1,2), C=(1,-1,-2)$ 共线, $D=(3,0,0), E=(3,1,2), F=(3,-2,-4)$ 也共线. 并且这是两条不同的直线.
[事实上, $A,B,C$ 同在平面 $x=1$ 内, 由于 $\frac{2-0}{1-0}=\frac{-2-0}{-1-0}$, 故这三点共线. 类似的, $D,E,F$ 同在平面 $x=3$ 内, 由于 $\frac{2-0}{1-0}=\frac{-4-0}{-2-0}$, 故这三点也共线.]
而只有两种二次曲面上可能存在共线的三点: 单叶双曲面和双曲抛物面.
容易观察到这两条直线平行, 那么又排除了双曲抛物面的可能. 因为双曲抛物面的同族直母线都异面, 不同族直母线都相交. 所以只可能是单叶双曲面.
设 $A,B,C$ 所在直线为 $\ell_1$, $D,E,F$ 所在直线为 $\ell_2$. 则 $\ell_1$ 位于平面 $x=1$ 内, $\ell_2$ 位于平面 $x=3$ 内. 根据单叶双曲面的特征, 可知其旋转轴所在的平面为 $x=2$.
这个曲面其实是
\[
(x-2)^2+y^2-\frac{z^2}{4}=1.
\]
[分析] 设过 $A,B,C$ 的直线为 $L_1$, 过 $D,E,F$ 的直线为 $L_2$. 它们的方向向量均为 $v=(0,1,2)$. 于是方程为
\[
\begin{aligned}
L_1:\ \frac{x-1}{0}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{2},\\
L_2:\ \frac{x-3}{0}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{2},\\
\end{aligned}
\]
因此, 单叶双曲面 $\Sigma$ 的中心为 $(2,0,0)$. 于是可设 $\Sigma$ 的方程为
\[
\frac{(x-2)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.
\]
将 $G,H,I$ 三点的坐标分别代入, 得到关于 $X=a^2$, $Y=b^2$, $Z=c^2$ 的三个方程:
\[
\begin{cases}
\frac{4}{X}+\frac{1}{Y}-\frac{16}{Z}=1,\\
\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}-\frac{4}{Z}=1,\\
\frac{9}{X}+\frac{8}{Y}-\frac{64}{Z}=1,\\
\end{cases}
\]
解得 $X=1$, $Y=1$, $Z=4$. 因此 $a=1$, $b=1$, $c=2$. 曲面方程为
\[
\frac{(x-2)^2}{1}+\frac{y^2}{1}-\frac{z^2}{4}=1.
\]