问题及解答

设 $U,V$ 为向量空间 $W$ 的子向量空间, 则 $U,V$ 横截相交当且仅当 $U+V=W$, 此时

\[
\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim W.
\]

或改写为

\[
\text{codim} U\cap V=\text{codim} U+\text{codim} V.
\]

这里 $\text{codim}(U)=\dim W-\dim U$.

$i:\ U\rightarrow W$ 是嵌入映射, $V$ 是 $W$ 的子向量空间, 当然是正则子流形. 由条件 $U$ 和 $V$ 横截, 根据定理, 可知

$i^{-1}(V)=U\cap V$ 是 $W$ 的正则子流形, 且

\[
\dim U-\dim (U\cap V)=\dim W-\dim V,
\]

整理即得

\[
\dim (U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim W.
\]