设 $M$ 和 $N$ 是 $C^r$ 流形 $(r\geqslant 1)$, $f:M\rightarrow N$ 是 $C^r$ 映射, $q\in f(M)$ 是 $f$ 的正则值. 则 $S=f^{-1}(q)$ 是 $M$ 的 $C^r$ 正则子流形, 并且
\[
\dim S=\dim M-\dim N.
\]
(显然 $S$ 是 $M$ 的闭子集, 因而是闭子流形.)
相关的定理:
带边流形的正则值原像定理(参见问题902)
References:
张筑生, 《微分拓扑讲义》
1
我们利用淹没映射的典范局部表示.
由于 $q$ 是 $f$ 的正则值, 故 $\text{rank}_p f=\dim N$. 故 $f$ 在 $p_0\in S=f^{-1}(q)$ 点邻近是一个淹没. 因此, 对任意的 $p_0\in S=f^{-1}(q)$, 存在 $p_0$ 点邻近的 $M$ 的局部坐标图卡 $(U,\varphi)$ 和 $q$ 点邻近的 $N$ 的局部坐标图卡 $(V,\psi)$, 使得
\[
\varphi(p_0)=0,\quad\psi(q)=0,\quad f(U)\subset V,
\]
并且使得
\[
\tilde{f}=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}=\pi|_{\varphi(U)},
\]
其中 $\pi:\ \mathbb{R}^m=\mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是从乘积空间 $\mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n$ 到第二个因子空间 $\mathbb{R}^n$ 的投射. 因为
\[
p\in U\cap f^{-1}(q)\Leftrightarrow\varphi(p)\in\varphi(U)\cap\tilde{f}^{-1}(0),
\]
所以
\[
\varphi\bigl(U\cap f^{-1}(q)\bigr)=\varphi(U)\cap\tilde{f}^{-1}(0)=\varphi(U)\cap(\mathbb{R}^{m-n}\times\{0\}).
\]
最后一个等号是因为 $\tilde{f}^{-1}$ 将后面的 $n$ 个坐标分量去掉了.
(请注意: 对于 $m=n$ 的情形, 结论仍成立.)
References:
张筑生, 《微分拓扑讲义》