设 $\alpha$ 为正无理数, 考虑映射
\[
f:\ \mathbb{R}\rightarrow S^1\times S^1,\quad f(t)=(e^{i2\pi t},e^{i2\pi\alpha t}).
\]
证明 $f$ 为单浸入, 且其像在 $S^1\times S^1$ 中稠密;
推广这个结果, 证明存在单浸入 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow T^n$, 使得 $f(\mathbb{R})$ 在 $T^n$ 中稠密.
参考徐森林 《流形》
1
取 $S^1\times S^1$ 的局部坐标系为 $(V_1\times V_2, \psi)$, 其中 $V_1=V_2=S^1-\{(-1,0)\}$, $\psi(e^{i2\pi t},e^{i2\pi s})=(t,s)$, 这里 $t,s\in(-\pi,\pi)$.
而 $\mathbb{R}$ 的局部坐标系为 $(U,\varphi)$, 其中 $\varphi=\text{id}$.
于是
\[
J(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(\varphi(t))=J(t,\alpha t)=(1,\alpha).
\]
我们只要证明下面的断言:
对于固定的 $a,b\in\mathbb{R}$, 以及无理数 $\alpha$, 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $k,h\in\mathbb{Z}$, 使得
\[
|\alpha-\frac{b+h}{a+k}| < \varepsilon.
\]
因此, $\text{rank}_t f=\text{rank}J(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(\varphi(t))=1$. 因此 $f$ 是浸入.
设 $f(t)=f(s)$, 则 $(e^{i2\pi t},e^{i2\pi\alpha t})=(e^{i2\pi s},e^{i2\pi\alpha s})$, 这推出
\[
t=s+k,\quad \alpha t=\alpha s+h,
\]
这里 $k,h\in\mathbb{Z}$. 由第二式得 $\alpha(t-s)=h$, 再将 $t-s=k$ 代入, 得 $\alpha k=h$. 由于 $\alpha$ 是无理数, 故有 $k=h=0$. 因此 $s=t$. 即 $f$ 是单射.
因此 $f$ 是单浸入.
下证 $f$ 的像在 $S^1\times S^1$ 中稠密.
任取 $(e^{i2\pi a},e^{i2\pi b})\in S^1\times S^1$,
我们只需证明下面的断言:
Claim. 对于固定的 $a,b\in\mathbb{R}$ 以及无理数 $\alpha$, 任给 $\varepsilon > 0$, 存在 $h,k\in\mathbb{Z}$, 使得
\[
|\alpha-\frac{b+h}{a+k}| < \varepsilon.
\]
2
我们考虑环面 $T=S^1\times S^1$ 的基本域 $[0,1]\times [0,1]$. 然后考虑直线 $\ell:\ y=\alpha x$, 不妨设 $\alpha >1$.
我们证明点列 $\{\frac{n}{\alpha}\mod 1\}_{n=1}^{\infty}$ 是可数无限多的, 其中任两点都不相同.
事实上, 当 $\alpha$ 为有理数 $\frac{q}{p}$ 时, 此集合是有限集. 因为此时存在 $k,h\in\mathbb{Z}$, 使得
\[
k\frac{q}{p}-h=\frac{q}{p},
\]
上面只需令 $k=p+1$, $h=q$ 即可.
现在 $\alpha$ 是无理数, 若存在 $k,h,t,s\in\mathbb{Z}$, 使得
\[
k\frac{1}{\alpha}-h=t\frac{1}{\alpha}-s,
\]
则得 $\alpha=\frac{k-t}{h-s}$ 矛盾. 因此点列 $\{\frac{n}{\alpha}\mod 1\}_{n=1}^{\infty}$ 是可数无限多的, 且其中任两点都不相同.
当 $0 < \alpha <1$ 时证明是类似的.
我们证明 $0$ 是该点集的聚点.
由于 $\frac{1}{\alpha}$ 是无理数, 故根据无理数的判定准则(问题1159), 对任意 $\varepsilon > 0$, 存在整数 $k,h$, 使得
\[
\biggl|\frac{1}{\alpha}-\frac{h}{k}\biggr| < \frac{\varepsilon}{k}.
\]
故
\[
\biggl|k\cdot\frac{1}{\alpha}-h\biggr| < \varepsilon.
\]
这说明 $0$ 是该点集的聚点.
利用 Kronecker-Чeбыщeв 定理(参见问题1539)可证明该点集在 $[0,1]$ 上是稠密的. 事实上, 任给定数 $\beta\in[0,1]$, 及给定的无理数 $\frac{1}{\alpha}$, 对任意 $\varepsilon > 0$, 存在整数 $k,h$, 使得
\[
\biggl|k\cdot\frac{1}{\alpha}-h-\beta\biggr| < \varepsilon.
\]
现在, 我们可以说 $f(\mathbb{R})$ 在环面 $S^1\times S^1$ 中稠密了.
3
考虑映射 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow T^n$,
\[
t\mapsto (e^{i2\pi t},e^{i2\pi\alpha_1 t},e^{i2\pi\alpha_2 t},\ldots,e^{i2\pi\alpha_{n-1} t}),
\]
其中 $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_{n-1}$ 都是无理数, 且基于有理数集是线性无关的.
具体请参见 Kronecker's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%27s_theorem