问题及解答

证明: $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 同胚仅当 $n=m$.

类似的, 当 $n\neq m$ 时, $S^n$ 与 $S^m$ 也不同胚.

首先我们证明: $\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^n(n\neq 2)$ 不同胚.

当 $n=1$ 时, 我们在问题1599 中已经证明. 事实上,

假设 $f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^n$ 是一同胚. 当 $n=1$ 时, $\mathbb{R}^2-\{0\}$ 是道路连通的, 而 $\mathbb{R}^1-\{f(0)\}$ 不是道路连通的.

当 $n=2$ 时, 使用割点或者道路连通分支个数已经无法区分 $\mathbb{R}^2-\{0\}$ 和 $\mathbb{R}^n-\{f(0)\}$ 了. 但可以通过计算他们的基本群来区分.

注意到

\[
\pi_1(\mathbb{R}^n-\{x\})\cong\pi_1(S^{n-1})\times\pi_1(\mathbb{R}),
\]

因此, $\pi_1(\mathbb{R}^2-\{0\})=\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$. 而 $\pi_1(\mathbb{R}^n-\{0\})=0$ 对于 $n > 2$. 这是因为对于 $n\geqslant 2$, $\pi_1(S^n)=0$. (参见问题1603.)

一般的, 可以使用高阶同伦群或同调群证明 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 不同胚.

事实上, $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{R}^m$ 中的非空开集同胚当且仅当 $n=m$.

我们有关于紧支集上同调群的 Poincaré 引理:
\[
H_c^{*}(\mathbb{R}^n)=
\begin{cases}
\mathbb{R}, & *=n,\\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
\]
而具有相同同伦型的两个微分流形, 它们的 de Rham 上同调也是相同的.

{\bf 定义(相同的同伦型)}两个流形 $M$ 和 $N$ 称为在 $C^{\infty}$ 意义下具有相同的同伦型, 如果存在 $C^{\infty}$ 映射 $f:M\rightarrow N$ 和 $g:N\rightarrow M$, 使得 $g\circ f$ 和 $f\circ g$ 分别同伦于 $M$ 和 $N$ 上的恒同映射.

因此, 两个同胚的流形当然具有相同的同伦型, 从而它们的 de Rham 上同调群是同构的.