问题及解答

设

\[
A=\begin{pmatrix}
\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\
-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
\]

证明: $A\in SO(3)$. 求 $A$ 所对应的旋转变换的旋转轴.

\[
|A|=(\frac{1}{3})^3\cdot
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2\\
-2 & 2 & 1\\
-1 & -2 & 2
\end{vmatrix}
=\frac{1}{27}\cdot
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 2\\
0 & 3 & 3\\
0 & -\frac{3}{2} & 3
\end{vmatrix}=1.
\]

又

\[
A\cdot A^T=\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2\\
-2 & 2 & 1\\
-1 & -2 & 2
\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
2 & -2 & -1\\
1 & 2 & -2\\
2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
=\frac{1}{9}
\begin{vmatrix}
9 & 0 & 0\\
0 & 9 & 0\\
0 & 0 & 9
\end{vmatrix}=I_3,
\]

所以 $A\in SO(3)$.

要求旋转轴, 只要求特征向量. 为此先求特征值. 为简单起见, 我们只计算

\[
B=\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2\\
-2 & 2 & 1\\
-1 & -2 & 2
\end{pmatrix}
\]

的特征值, 因为若 $\lambda$ 是 $B$ 的特征值, 则 $k\lambda$ 就是 $kB$ 的特征值.

设 $|\lambda I_3-B|=0$. 即

\[
\begin{vmatrix}
\lambda-2 & -1 & -2\\
2 & \lambda-2 & -1\\
1 & 2 & \lambda-2
\end{vmatrix}=0.
\]

这推出

\[
(\lambda-2)^3+6(\lambda-2)-7=0.
\]

显然有解 $\lambda=3$. 将上面的多项式整理得

\[
\lambda^3-6\lambda^2+18\lambda-27=0.
\]

因为有因子 $\lambda-3$, 作长除法进而因式分解, 得

\[
(\lambda-3)(\lambda^2-3\lambda+9)=0.
\]

故实根只有一个, 即 $\lambda=3$.

而 $A=\frac{1}{3}B$, 故 $1$ 是 $A$ 的特征值. 假设 $\vec{v}$ 是相应于 $1$ 的特征向量. 则

\[
A\vec{v}=1\cdot\vec{v},
\]

故解方程 $(I_3-A)\vec{x}=\vec{0}$. 即

\[
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\
\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\
\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

等价于解方程

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
2 & 1 & -1\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

对系数矩阵进行初等行变换, 得

\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
2 & 1 & -1\\
1 & 2 & 1
\end{pmatrix}\xrightarrow[r_3-r_1]{r_2-2r_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 3 & 3\\
0 & 3 & 3
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1+r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

所以得

\[
\begin{cases}
x_1=x_3\\
x_2=-x_3
\end{cases}
\]

令 $x_3=1$, 得 $\xi=(1,-1,1)^T$. 此即基础解系.

所以旋转轴即为过原点平行于 $\xi$ 的直线.