问题及解答

求不定积分

\[\int\sqrt{1+x^2}dx\]

[Hint] 碰到根号, 通常我们需要想办法将之去掉. 一个办法是令 $x=\tan t$, 另一个是令 $x=\sinh t$.

令 $x=\tan t$, 不妨设 $t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$. 则 $\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+\tan^2 t}=\sec t$,   $\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan t=\sec^2 t\mathrm{d}t$. 于是

\[
\int\sqrt{1+x^2}\mathrm{d}x=\int\sec t\cdot\sec^2 t\mathrm{d}t=\int\sec^3 t\mathrm{d}t.
\]

而 $\sec^3 t$ 的不定积分可参见问题1410.

\[
\int\sec^3 t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln|\sec t+\tan t|+\frac{1}{2}\sec t\cdot\tan t+C.
\]

注意到 $\tan t=x$, $\sec t=\sqrt{1+\tan^2 t}=\sqrt{1+x^2}$, 因此

\[
\int\sqrt{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln|\sqrt{1+x^2}+x|+\frac{1}{2}x\cdot\sqrt{1+x^2}+C
\]