问题及解答

设 $f(x)=nx(1-x)^n$, $n$ 为自然数, 求

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\max_{x\in[0,1]}f(x).
\]

不妨记 $f_n(x)=nx(1-x)^n$.

\[
f'_n(x)=n(1-x)^n+nx\cdot n(1-x)^{n-1}\cdot(-1)=n(1-x)^{n-1}\bigl[1-(n+1)x\bigr],
\]

因此, 当 $x\in[0,\frac{1}{n+1}]$ 时, 函数 $f_n(x)$ 严格单调递增; 当 $x\in[\frac{1}{n+1},1]$ 时, 函数 $f_n(x)$ 严格单调递减.

故 $\max_{x\in[0,1]}f_n(x)=f_n(\frac{1}{n+1})=\frac{n}{n+1}(1-\frac{1}{n+1})^n$.

于是原极限等于

\[
\begin{split}
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n+1}(1-\frac{1}{n+1})^n\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1})^n\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty}\biggl[(1+\frac{1}{-(n+1)})^{-(n+1)}\biggr]^{(-1)}\cdot(1+\frac{1}{-(n+1)})^{-1}\\
=&e^{-1}.
\end{split}
\]