问题及解答

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f'(x)<0$. 记

\[F(x)=\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)dt,\]

证明: $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调减少.

\[
\begin{split}
F'(x)&=\frac{f(x)\cdot(x-a)-\int_a^x f(t)dt\cdot 1}{(x-a)^2}\\
&=\frac{1}{(x-a)^2}\bigl[(x-a)f(x)-(x-a)f(\xi)\bigr],\\
&=\frac{1}{(x-a)^2}\cdot(x-a)\bigl[f(x)-f(\xi)\bigr],\\
\end{split}
\]

其中 $\xi\in(a,x)$. 由于 $f'(x)<0$, 所以 $f(x)-f(\xi) < 0$, 因此 $F'(x) < 0$. 故 $F(x)$ 在 $(a,x)$ 上单调递减.