问题及解答

求

\[
I_n=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n},
\]

其中 $a>0$, $n$ 为非负整数.

事实上, 可以得到递推公式

\[
I_{n+1}=\frac{2n-1}{2na^2}I_n+\frac{1}{2na^2}\frac{x}{(x^2+a^2)^n}.
\]

显然 $I_0=x+C$, $I_1=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$. 当 $n\geqslant 1$ 时,

\[
\begin{split}
I_n&=\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx\\
&=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\biggl[\int\frac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx-a^2\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx\biggr]\\
&=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}.
\end{split}
\]

这样就得到了递推公式

\[
I_{n+1}=\frac{2n-1}{2na^2}I_n+\frac{1}{2na^2}\frac{x}{(x^2+a^2)^n},
\]

由此可以求出所有的 $I_n$.

References:

梅加强 编著 《数学分析》高等教育出版社.