问题及解答

证明: 当 $abc\neq 0$ 时, 方程组

\[
\begin{cases}
bx+ay=c,\\
cx+az=b,\\
cy+bz=a,
\end{cases}
\]

有唯一解, 并求其解.

原方程组改写为

\[
\begin{pmatrix}
b & a & 0\\
c & 0 & a\\
0 & c & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\ y\\ z\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
c\\ b\\ a\\
\end{pmatrix}
\]

于是系数矩阵的行列式为

\[
D=\begin{vmatrix}
b & a & 0\\
c & 0 & a\\
0 & c & b
\end{vmatrix}=b\cdot
\begin{pmatrix}
0 & a\\
c & b
\end{pmatrix}-a\cdot
\begin{pmatrix}
c & a\\
0 & b
\end{pmatrix}=-2abc
\]

因此, 当 $abc\neq 0$ 时, 根据克莱姆(Cramer)法则, 方程组有唯一解.

\[
D_1=\begin{vmatrix}
c & a & 0\\
b & 0 & a\\
a & c & b
\end{vmatrix}=a(a^2-b^2-c^2).
\]

\[
D_2=\begin{vmatrix}
b & c & 0\\
c & b & a\\
0 & a & b
\end{vmatrix}=b(b^2-c^2-a^2).
\]

\[
D_3=\begin{vmatrix}
b & a & c\\
c & 0 & b\\
0 & c & a
\end{vmatrix}=c(c^2-a^2-b^2).
\]

因此

\[
\begin{aligned}
x&=\frac{D_1}{D}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\\
y&=\frac{D_2}{D}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\\
z&=\frac{D_3}{D}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\\
\end{aligned}
\]