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问题及解答

用归纳法证明下面的行列式等式

Posted by haifeng on 2014-12-11 10:54:42 last update 2014-12-11 10:55:38 | Edit | Answers (1)

\[
D_n=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_n=\cos n\alpha
\]

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Posted by haifeng on 2014-12-11 11:09:34

$D_1=\cos\alpha$,

\[
D_2=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1\\
1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}=2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha.
\]

因此, 当 $n=1,2$ 时, 结论成立.


假设当 $n\leqslant k$ 时, 结论成立. 即 $D_n=\cos n\alpha$ 对于 $n\leqslant k$ 都成立. 比如下面的,

\[
D_k=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_k=\cos k\alpha.
\]

于是, 当 $n=k+1$ 时,

\[
\begin{split}
D_{k+1}&=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_{k+1}\\
&\stackrel{按 r_{k+1} 展开}{=}1\cdot(-1)^{k+1+k}\cdot
\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & 2\cos\alpha &  0\\
 & & & & 1 & 1
\end{vmatrix}_k\\
&\quad+2\cos\alpha\cdot(-1)^{k+1+k+1}\cdot
\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_k\\
&=(-1)\cdot 1\cdot(-1)^{k+k}\cdot D_{k-1}+2\cos\alpha D_k\\
&=-D_{k-1}+2\cos\alpha D_k=-\cos(k-1)\alpha+2\cos\alpha\cdot\cos k\alpha\\
&=\cos(k+1)\alpha,
\end{split}
\]

最后一步使用了和差化积公式

\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.
\]