$D_1=\cos\alpha$,
\[
D_2=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1\\
1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}=2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha.
\]
因此, 当 $n=1,2$ 时, 结论成立.
假设当 $n\leqslant k$ 时, 结论成立. 即 $D_n=\cos n\alpha$ 对于 $n\leqslant k$ 都成立. 比如下面的,
\[
D_k=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 & & & & \\
1 & 2\cos\alpha & 1 & & & \\
& 1 & 2\cos\alpha & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & 1\\
& & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_k=\cos k\alpha.
\]
于是, 当 $n=k+1$ 时,
\[
\begin{split}
D_{k+1}&=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 & & & & \\
1 & 2\cos\alpha & 1 & & & \\
& 1 & 2\cos\alpha & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & 1\\
& & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_{k+1}\\
&\stackrel{按 r_{k+1} 展开}{=}1\cdot(-1)^{k+1+k}\cdot
\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 & & & & \\
1 & 2\cos\alpha & 1 & & & \\
& 1 & 2\cos\alpha & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & 2\cos\alpha & 0\\
& & & & 1 & 1
\end{vmatrix}_k\\
&\quad+2\cos\alpha\cdot(-1)^{k+1+k+1}\cdot
\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 & & & & \\
1 & 2\cos\alpha & 1 & & & \\
& 1 & 2\cos\alpha & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & \ddots & \ddots & 1\\
& & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_k\\
&=(-1)\cdot 1\cdot(-1)^{k+k}\cdot D_{k-1}+2\cos\alpha D_k\\
&=-D_{k-1}+2\cos\alpha D_k=-\cos(k-1)\alpha+2\cos\alpha\cdot\cos k\alpha\\
&=\cos(k+1)\alpha,
\end{split}
\]
最后一步使用了和差化积公式
\[
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.
\]