问题及解答

设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得

\[f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).\]

类似的问题还可以这样设置

使得

\[
\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}.
\]

一般看到这种形式的等式, 就应该想到使用 Cauchy 中值定理.

考虑函数 $g(x)=\frac{x^2}{2}$. 则 $g(x)\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 根据 Cauchy 中值定理, 存在 $\eta\in(a,b)$, 使得

\[
\frac{f(b)-f(a)}{\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}}=\frac{f'(\eta)}{\eta},
\]

这推出

\[
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b+a}{2}\cdot\frac{f'(\eta)}{\eta}.
\]

又存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, 因此

\[
f'(\xi)=\frac{b+a}{2\eta}\cdot f'(\eta).
\]