问题及解答

(i) 若 $\triangle A'B'C'$ 是 $\triangle ABC$ 的极三角形, 则 $\triangle ABC$ 是 $\triangle A'B'C'$  的极三角形.

(ii) 若 $\alpha,\beta,\gamma$ 是 $\triangle ABC$ 的三个角, $aR,bR,cR$ 分别是它三边的长度 ($R$ 是球面的半径), 则极三角形 $\triangle A'B'C'$ 的三个角是 $\pi-a$, $\pi-b$, $\pi-c$, 三边长度为 $(\pi-\alpha)R$, $(\pi-\beta)R$, $(\pi-\gamma)R$.

设球面的球心是 $O$, 则根据极三角形的定义，$C'$ 是 $AB$ 所在大圆的极点之一, 因此 $OC'\perp OA$, $OC'\perp OB$. 同理 $OB'\perp OA$, $OB'\perp OC$. 因此 $OA\perp OC'$, $OA\perp OB'$. 也即 $A$ 是 $B'C'$ 所在大圆的极点之一.