问题及解答

设 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ 存在, 用定义证明

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}n\sin\frac{x_n}{n^2}=0.
\]

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ 存在, 因此 $\{x_n\}$ 有界. 不妨设 $|x_n|<A$, $A>0$.

任给 $\varepsilon>0$,

\[
\biggl|n\sin\frac{x_n}{n^2}-0\biggr|=n\biggl|\sin\frac{x_n}{n^2}\biggr|<n\cdot\frac{|x_n|}{n^2}=\frac{|x_n|}{n}<\frac{A}{n},
\]

取 $N=\bigl[\frac{A}{\varepsilon}\bigr]$, 则当 $n>N$ 时, 就有

\[
\biggl|n\sin\frac{x_n}{n^2}-0\biggr|<\varepsilon.
\]

根据极限的定义, 即

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}n\sin\frac{x_n}{n^2}=0.
\]