问题及解答

求下面的行列式

\[
\begin{vmatrix}
1+a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n\\
a_2+b_1 & 1+a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & 1+a_n+b_n\\
\end{vmatrix}
\]

注意到

\[
\begin{pmatrix}
a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n\\
a_2+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & a_n+b_n\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_1 & 1\\
a_2 & 1\\
\vdots &\vdots\\
a_n & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\
\end{pmatrix}
\]

记后两个矩阵分别为 $A$, $B$. 则原行列式等于

\[
\det(I_n+AB)
\]

下面使用分块矩阵的行列式运算规则可证明

\[
|I_n+AB|=|I_2+BA|.
\]

而后者非常好算.

事实上,

\[
|I_n+AB|=\begin{vmatrix}
I_n+AB & A\\
O & I_2\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
I_n & A\\
-B & I_2\\
\end{vmatrix}
\]

最后一个等号是因为, 从最后一个行列式作变换 $c_1+c_2\cdot B$.

另一方面,

\[
\begin{vmatrix}
I_n & A\\
-B & I_2\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
I_n & A\\
O  & I_2+BA\\
\end{vmatrix}=|I_2+BA|.
\]

这里第一个等号做的变换是: $r_2+B\cdot r_1$.

最后计算 $|I_2+BA|$, 注意到

\[
\begin{split}
BA&=\begin{pmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & 1\\
a_2 & 1\\
\vdots &\vdots\\
a_n & 1\\
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
\sum_{i=1}^{n}a_i & n\\
\sum_{i=1}^{n}a_ib_i & \sum_{i=1}^{n}b_i\\
\end{pmatrix}.
\end{split}
\]

从而

\[
\begin{split}
|I_2+BA|&=\begin{vmatrix}
1+\sum_{i=1}^{n}a_i & n\\
\sum_{i=1}^{n}a_ib_i & 1+\sum_{i=1}^{n}b_i\\
\end{vmatrix}\\
&=(1+\sum_{i=1}^{n}a_i)(1+\sum_{i=1}^{n}b_i)-n\sum_{i=1}^{n}a_ib_i.
\end{split}
\]

References:

王品超 编著 《高等代数新方法》P.70, 问题 21.