问题及解答

求极限

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2},
\]

这里 $m,n$ 是正整数.

\[
(1+mx)^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^i (mx)^i=1+C_n^1\cdot mx+C_n^2(mx)^2+C_n^3(mx)^3+\cdots+C_n^n(mx)^n,
\]

\[
(1+nx)^m=\sum_{i=0}^{m}C_m^i (nx)^i=1+C_m^1\cdot nx+C_m^2(nx)^2+C_m^3(nx)^3+\cdots+C_m^m(nx)^m.
\]

因此,

\[
\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}=(C_n^2\cdot m^2-C_m^2\cdot n^2)+x\cdot P(x),
\]

其中 $P(x)$ 是关于 $x$ 的一个多项式. 从而

\[
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}=C_n^2\cdot m^2-C_m^2\cdot n^2=\frac{1}{2}mn(n-m).
\]