问题及解答

Lem(Szaraki-wazewski). 设 $A,B$ 为同阶实方阵. 证明

\[
\begin{vmatrix}
\lambda I-A & B\\
-B & \lambda I-A
\end{vmatrix}=
|\lambda I-(A+iB)|\cdot |\lambda I-(A-iB)|.
\]

这个引理有一个很好的应用, 就是令 $\lambda=0$ 且 $A$ 写为 $-A$ 时, 得到

\[
\begin{vmatrix}
A & B\\
-B & A
\end{vmatrix}=
|A-iB|\cdot |A+iB|.
\]

通过分块矩阵的法则,

\[
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\lambda I-A & B\\
-B & \lambda I-A
\end{vmatrix}&=
\begin{vmatrix}
\lambda I-A & B\\
i(\lambda I-A)-B & \lambda I-A+iB\\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
\lambda I-A-iB & B\\
0 & \lambda I-A+iB\\
\end{vmatrix}\\
&=|\lambda I-(A+iB)|\cdot |\lambda I-(A-iB)|.
\end{split}
\]

其中第一个等号所做操作时 $r_2+iI\cdot r_1$, (这里 $r_i$ 指第 $i$ 个行分块.)

第二个等号所做操作时 $c_1-iI\cdot c_2$, (这里 $c_i$ 指第 $i$ 个列分块.)