问题及解答

$\mathbb{R}^3$ 中位于原点处的磁单极, 其磁场 $\mathbf{B}$ 由下式给出:

\[
\mathbf{B}(x)=\frac{x}{4\pi r^3},
\]

其中 $r=|x|$. 证明 $\text{div}\mathbf{B}=0$, 从而满足 Maxwell 方程.

设 $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$. 注意到

\[
\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{x_i}{r}.
\]

\[
\begin{split}
\text{div}\mathbf{B}&=\nabla\cdot\mathbf{B}=\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{x_1}{4\pi r^3}+\frac{\partial}{\partial x_2}\frac{x_2}{4\pi r^3}+\frac{\partial}{\partial x_3}\frac{x_3}{4\pi r^3}\\
&=\frac{1}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^6}\biggl[(r^3-x_1 3r^2\frac{x_1}{r})+(r^3-x_2 3r^2\frac{x_2}{r})+(r^3-x_3 3r^2\frac{x_3}{r})\biggr]\\
&=0
\end{split}
\]