问题及解答

设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 若存在 $X$ 使得 $e^X=A$, 则 $\det(A)=e^{\text{tr}(X)}$. 从而 $A$ 必须是可逆的.
 

注意到线性代数中有这样一个结果,  任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵(或下三角矩阵).

这里对于 $n$ 阶复方阵 $X$, 不妨设存在 $n$ 阶酉矩阵 $U$,使得

\[
X=U^*\begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & * \\
0 & \ddots & * \\
0 & 0 & \lambda_n \\
\end{pmatrix}U,\quad\mbox{其中}\ \lambda_1,\ldots,\lambda_n
\ \mbox{为}\ X\ \mbox{的特征值},
\]

其中 $U^*=\overline{U}^{t}=U^{-1}$. 记

\[
A=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & * \\
0 & \ddots & * \\
0 & 0 & \lambda_n \\
\end{pmatrix}.
\]

于是 $\textrm{tr}X=\textrm{tr}(U^*AU)=\textrm{tr}A=\sum_{n}^{i=1}\lambda_i$. 另一方面,

\[
\exp
X=\exp(U^*AU)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}\bigl(U^*AU\bigr)^k=U^*\biggl(\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}A^k\biggr)U=U^*e^{A}U.
\]
因此
\[
\det(\exp X)=\det(\exp A).
\]
故只需对上三角矩阵证明即可. 仍记 $A$ 为上面的上三角矩阵. 则
\[
A^k=\begin{pmatrix}
\lambda_1^k & * & * \\
0 & \ddots & * \\
0 & 0 & \lambda_n^k \\
\end{pmatrix}.
\]

\[
\det(\exp A)=\det
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1} & * & * \\
0 & \ddots & * \\
0 & 0 & e^{\lambda_n} \\
\end{pmatrix}=\prod_{i=1}^{n}e^{\lambda_i}=\exp(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)=e^{\mathrm{tr}A}.
\]