问题及解答

定理(Euclid). 如果 $2^p-1$ 是素数, 则 $2^{p-1}(2^p-1)$ 是一个完全数.

在 Euclid 给出此定理的 2000 年后, Leonhard Euler 证明了此定理的逆命题, 即,

定理(Euler). 每个偶完全数均形如 $2^{n-1}(2^n-1)$. 这里 $2^n-1$ 是素数.

Open question:

是否存在奇完全数?

$2^{p-1}(2^p-1)$ 的真因子为 $2, 2^2, 2^3, 2^4,\cdots,2^{p-1}$, $2^p-1$, $2(2^p-1)$, $2^2(2^p-1)$, $2^3(2^p-1)$, $\ldots$, $2^{p-2}(2^p-1)$.

其真因子之和为

\[
\begin{split}
&1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{p-1}+(2^p-1)+2(2^p-1)+2^2(2^p-1)+\cdots+2^{p-2}(2^p-1)\\
=&\frac{2^p-1}{2-1}+(2^p-1)(1+2+2^2+\cdots+2^{p-2})\\
=&2^p-1+(2^p-1)\frac{2^{p-1}-1}{2-1}\\
=&2^p-1+(2^p-1)(2^{p-1}-1)\\
=&2^{p-1}(2^p-1)
\end{split}
\]

故 $2^{p-1}(2^p-1)$ 是一个完全数.

Euler 定理的证明 (by L. E. Dickson)

设 $N$ 是一个偶完全数, $N=2^{n-1}F$. 这里 $n > 1$, $F$ 是奇数. 令 $\Sigma$ 为 $F$ 的所有正因子(注意包含自身)之和. 则 $N$ 的正因子包含 $F$ 的所有这些奇因子和他们的 2倍、4倍、... $2^{n-1}$ 倍. 并且没有其他的正因子了.

由于 $N$ 是完全数, 故

\[
N=2^{n-1}F=(1+2+4+\cdots+2^{n-1})\Sigma-N.
\]

即

\[
2N=2^n F=(2^n-1)\Sigma.
\]

因此,

\[
\Sigma=\frac{2^n F}{2^n-1}=F+\frac{F}{2^n-1}.\tag{*}
\]

由于 $\Sigma$ 和 $F$ 都是整数, 故 $\frac{F}{2^n-1}$ 必须是整数, 于是 $(2^n-1)|F$, 即 $F/(2^n-1)$ 是 $F$ 的一个因子. 由假设 $\Sigma$ 是 $F$ 的所有正因子之和, 故从 (*) 可知 $F/(2^n-1)$ 只能是 1. 也就是说 $F=2^n-1$. 且 $F$ 除了自身和 1 之外别无其他正因子, 故 $2^n-1$ 是素数.

Reference:

Daniel Shanks, Solved and unsolved problems in Number Theory.