薛定谔方程(Schrödinger equation)

考虑到氢原子中的电子可近似为处于外场中的非相对论性粒子, 它的能量动量关系为

\[
E=\frac{p^2}{2m}+V(r),
\]

其中 $V(r)$ 是电子在原子核静电场中的库伦能. 将 $E$ 和 $\vec{p}$ 换成相应的算符, 即

\[
\begin{aligned}
E\rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\\
\vec{p}\rightarrow -i\hbar\nabla
\end{aligned}
\]

并作用在电子的波函数 $\psi(\vec{r},t)$ 上, 就得到

\[
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\mathrm{tr}\nabla^2\psi+V(r)\phi.
\]

以上内容参考自[1] P.164

References:

[1] 王正行  编著 《近代物理学》,  北京大学出版社.

这里主要讨论数学, 但是数学很多理论来自于物理. 因此特地添加物理类别. 

将【物理】类别放置【数学基础】之下，并不指“物理”为数学基础. 关于物理是数学的基础, 还是数学是物理的基础, 有很多相关讨论, 我们不置评论, 不纠结于此.

认为物理是数学之基础的学者, 大多认为数学只是物理学研究的工具; 而认为数学是物理之基础的学者则倾向于认为物理学是数学理论的特殊的由具体物质实现的理论, 也就是说理论上可以有不同的物理世界.

不管怎样, 大家都一致认为研究物理现象, 促进了数学理论的进步; 反过来数学理论的进步亦加快加深了物理学的研究.

2020-12-2

克莱因-戈登方程(Klein-Gordon equation)

描述光子运动的平面波

\[
A(\vec{r},t)=A_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}
\]

满足的方程是

\[
\frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^2}{\partial t^2}A-\nabla^2 A=0.
\]

把平面波的表达式代入上述波动方程, 可得波矢量 $\vec{k}$ 与圆频率 $\omega$ 之间应满足的关系

\[
\frac{\omega^2}{c^2}=k^2.
\]

从光的粒子性来看, $E=\hbar\omega$, $\vec{p}=\hbar\vec{k}$, 则上式变为

\[
\frac{E^2}{c^2}=p^2
\]

Remark:

(1) 这里 $\nabla^2$ 应该是 $\mathrm{tr}\nabla^2$.

(2) $k=|\vec{k}|$. (参考书上 $\vec{k}$ 是粗体, 指波矢量, 而 $k$ 是该波矢量的模长.)

References:

王正行 编著《近代物理学》,  P.163

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