按类别列出问题

Mathematics


几何 >> 几何分析
Questions in category: 几何分析 (Geometry Analysis).

1

早于 Ricci flow 的几种几何流(geometric flow)

Posted by haifeng on 2018-01-31 17:26:13 last update 2018-01-31 17:26:13 | Answers (0) | 收藏

早于 Ricci flow 的几种几何流(geometric flow)

2

用于证明闭流形上 Ricci flow 之解的短时存在性的 DeTurck 技巧

Posted by haifeng on 2018-01-31 17:21:27 last update 2018-01-31 17:21:27 | Answers (0) | 收藏

DeTurck 技巧

3

Ricci flow 和梯度流(gradient flow)的关系

Posted by haifeng on 2018-01-31 17:18:27 last update 2018-01-31 17:21:38 | Answers (0) | 收藏

Ricci flow 和梯度流(gradient flow)的关系

4

几何分析中的一些记号约定

Posted by haifeng on 2014-04-05 15:08:55 last update 2014-04-05 15:36:57 | Answers (0) | 收藏

记号的不统一会带来一些困扰, 比如有时用 $\text{Rc}$ 或 $\text{Ric}$ 指 Ricci 曲率, 这还好, 但是一般黎曼几何的书 $R$ 指曲率张量, 但到了几何分析, $R$ 一般指数量曲率, 曲率张量用 $\text{Rm}$ 表示. 而在黎曼几何书中, 数量曲率一般用 $\text{scal}$ 表示.

以下为了方便, 统一记号. 使更有利于黎曼几何与几何分析的学习.


  • 曲率张量 $\text{Rm}$,
  • Ricci 曲率 $\text{Ric}$,
  • 截面曲率张量 $\text{sec}$,
  • 数量曲率 $R$ 或 $\text{scal}$

Hamilton 的 Ricci 流方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2R_{ij},
\]

这里 $R_{ij}$ 就是 $\text{Ric}_{ij}$, 因此我们宁愿将之写为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2\text{Ric}_{ij}.
\]


Evolution equation for the scalar curvature

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

 $R$ 是指数量曲率, 不是指曲率张量 $R(X,Y)Z$, 一般曲率张量在此时记为 $\text{Rm}(X,Y)Z$. 黎曼几何有的书也记数量曲率为 $\text{scal}$ 或 $S$, Ricci 曲率为 $\text{Ric}$. 因此也可以将上面的方程记为

\[
\frac{\partial}{\partial t}\text{scal}=\Delta\text{scal}+2|\text{Ric}|^2
\]

但显然没有上面的记号来得好. 因此有时记号的统一是非常必要的.

5

数量曲率的发展方程

Posted by haifeng on 2014-04-05 14:43:40 last update 2018-01-31 17:15:03 | Answers (0) | 收藏

数量曲率的发展方程(Evolution equation for the scalar curvature)

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

 


当 $n=2$ 时, $\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$. 这是显然的, 因为根据

\[\text{Ric}(v,v)=\sum_{i=2}^{n}\text{sec}(v,e_i),\]

这里 $\{v,e_2,\ldots,e_n\}$ 是 $T_p M$ 的标准正交基. 可得

\[\text{Ric}(e_1,e_1)=\text{sec}(e_1,e_2)=\text{sec}(e_2,e_1)=\text{Ric}(e_2,e_2).\]

因此, $\text{scal}=\text{Ric}(e_1,e_1)+\text{Ric}(e_2,e_2)=2\text{Ric}(e_i,e_i)$, 故

$\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$.

因此, 此时的数量曲率发展方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+R^2
\]

 


Remark:

这是一个热方程, 基本工具是极大值原理.

 

References:

Bennett Chow, Peng Lu & Lei Ni, Hamilton\'s Ricci Flow, Lectures in Contemporary Mathematics 3.


Search

New posted more ...