早于 Ricci flow 的几种几何流(geometric flow)

DeTurck 技巧

Ricci flow 和梯度流(gradient flow)的关系

记号的不统一会带来一些困扰, 比如有时用 $\text{Rc}$ 或 $\text{Ric}$ 指 Ricci 曲率, 这还好, 但是一般黎曼几何的书 $R$ 指曲率张量, 但到了几何分析, $R$ 一般指数量曲率, 曲率张量用 $\text{Rm}$ 表示. 而在黎曼几何书中, 数量曲率一般用 $\text{scal}$ 表示.

以下为了方便, 统一记号. 使更有利于黎曼几何与几何分析的学习.

• 曲率张量 $\text{Rm}$,
• Ricci 曲率 $\text{Ric}$,
• 截面曲率张量 $\text{sec}$,
• 数量曲率 $R$ 或 $\text{scal}$

Hamilton 的 Ricci 流方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2R_{ij},
\]

这里 $R_{ij}$ 就是 $\text{Ric}_{ij}$, 因此我们宁愿将之写为

\[
\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2\text{Ric}_{ij}.
\]

Evolution equation for the scalar curvature

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

 $R$ 是指数量曲率, 不是指曲率张量 $R(X,Y)Z$, 一般曲率张量在此时记为 $\text{Rm}(X,Y)Z$. 黎曼几何有的书也记数量曲率为 $\text{scal}$ 或 $S$, Ricci 曲率为 $\text{Ric}$. 因此也可以将上面的方程记为

\[
\frac{\partial}{\partial t}\text{scal}=\Delta\text{scal}+2|\text{Ric}|^2
\]

但显然没有上面的记号来得好. 因此有时记号的统一是非常必要的.

数量曲率的发展方程（Evolution equation for the scalar curvature）

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+2|\text{Ric}|^2
\]

当 $n=2$ 时, $\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$. 这是显然的, 因为根据

\[\text{Ric}(v,v)=\sum_{i=2}^{n}\text{sec}(v,e_i),\]

这里 $\{v,e_2,\ldots,e_n\}$ 是 $T_p M$ 的标准正交基. 可得

\[\text{Ric}(e_1,e_1)=\text{sec}(e_1,e_2)=\text{sec}(e_2,e_1)=\text{Ric}(e_2,e_2).\]

因此, $\text{scal}=\text{Ric}(e_1,e_1)+\text{Ric}(e_2,e_2)=2\text{Ric}(e_i,e_i)$, 故

$\text{Ric}=\frac{\text{scal}}{2}g$.

因此, 此时的数量曲率发展方程为

\[
\frac{\partial}{\partial t}R=\Delta R+R^2
\]

Remark:

这是一个热方程, 基本工具是极大值原理.

References:

Bennett Chow, Peng Lu & Lei Ni, Hamilton\'s Ricci Flow, Lectures in Contemporary Mathematics 3.