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拓扑 >> 拓扑群
Questions in category: 拓扑群 (Topological groups).

1

设 $G$ 是局部紧致群, $S$ 是 $G$ 的子群, $G/S$ 紧致. 证明存在紧集 $K$, 使得 $G=SK$.

Posted by haifeng on 2015-06-11 22:23:56 last update 2015-06-11 22:46:01 | Answers (0) | 收藏

设 $G$ 是局部紧致群, $S$ 是 $G$ 的子群, $G/S$ 紧致. 证明存在紧集 $K$, 使得 $G=SK$.

 


 

[概念]

局部紧

拓扑空间 $X$ 称为局部紧的, 是指 $X$ 中每一点都有一个紧邻域.

Prop. 拓扑群 $G$ 是局部紧的, 当且仅当单位元 $e$ 存在紧邻域.

2

拓扑群单位元邻域的一些性质

Posted by haifeng on 2012-08-01 11:26:31 last update 2012-08-01 11:26:31 | Answers (0) | 收藏

设 $U$ 为拓扑群 $G$ 中单位元 $e$ 的开邻域. 证明

(1) 存在 $e$ 的开邻域 $V$, 使得 $V=V^{-1}$, $V^2=VV\subset U$. 取 $x\in\bar{V}$, 证明 $xV\cap V\neq\emptyset$, 且 $x\in VV^{-1}$, 由此可得 $\bar{V}\subset U$.

3

设 $A,B$ 是拓扑群 $G$ 的子集, $x,y\in G$. 证明下面的结论.

Posted by haifeng on 2012-08-01 10:45:42 last update 2012-08-01 10:47:13 | Answers (2) | 收藏

设 $A,B$ 是拓扑群 $G$ 的子集, $x,y\in G$. 证明:

(1) $\bar{A}\bar{B}\subset\overline{AB}$;

(2) $(\bar{A})^{-1}=\overline{A^{-1}}$;

(3) $x\bar{A}y=\overline{xAy}$;

(4) 若 $A$ 是 $G$ 的子群, 则 $\bar{A}$ 是 $G$ 的子群.


References:

黎景辉, 冯绪宁 著 《拓扑群引论》 科学出版社 1999. [pp. 43 习题 10.]


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