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设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, $g(x)$ 与 $f(x)$ 只在有限个点处不同, 则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积, 并且它们的积分相等.

求不定积分 $\displaystyle\int\sin^4 x\mathrm{d}x$, $\displaystyle\int\cos^4 x\mathrm{d}x$.

微分中值定理

设 $f(x)=\begin{cases}\frac{\varphi(x)}{x},&x\neq 0,\\ 1, &x=0.\end{cases}$, 其中函数 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处具有二阶导数, 且 $\varphi(0)=0$, $\varphi'(0)=1$, 证明函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导.

设 $a$ 是正实数. 递归定义序列 $\{x_n\}$ 为 $x_{n+1}=\sqrt{a(a+1)+x_n}$, $x_1=\sqrt{a(a+1)}$. 证明 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

[Ubuntu] 在 64 位系统中运行 32 位程序

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