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我们考虑 Parseval 恒等式的一个几何应用, 即考虑有名的等周问题:
设 $\gamma$ 是一条长度为 $L$ 的简单闭曲线, 它所围成的区域什么时候面积最大?
为简单起见, 我们假设 $\gamma$ 是连续可微曲线.
2015-06-17
This slide is based on the textbook "Analysis" of Jiaqiang Mei.
我们考虑 Parseval 恒等式的一个几何应用, 即考虑有名的等周问题:
设 $\gamma$ 是一条长度为 $L$ 的简单闭曲线, 它所围成的区域什么时候面积最大?
为简单起见, 我们假设 $\gamma$ 是连续可微曲线.
定理（等周不等式）. 设平面区域 $\Omega$ 的边界 $\gamma$ 是一条长度为 $L$ 的连续可微简单闭曲线, 则 $\Omega$ 的面积 $A$ 满足不等式 \[ A\leqslant\frac{L^2}{4\pi}, \] 等号成立当且仅当 $\Omega$ 是半径为 $\frac{L}{2\pi}$ 的圆盘.
证明. 取 $\gamma$ 的参数为弧长参数, 其参数方程为 \[ \gamma(t)=(x(t),y(t)),\quad t\in [0,L]. \]
此时 $\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=1$. 我们可进一步假设 $\gamma$ 的重心位于原点, 即 \[ \int_{0}^{L}x(t)dt=\int_{0}^{L}y(t)dt=0, \]
这是因为可以通过平移将重心移至原点, 而平移保持区域的面积和曲线的长度不变.
因为 $\gamma$ 为闭曲线, $x(0)=x(L)$, $y(0)=y(L)$. 由下面的 Wirtinger 不等式得 \[ \int_{0}^{L}x^2(t)dt\leqslant(\frac{L}{2\pi})^2\int_{0}^{L}[x'(t)]^2 dt, \] \[ \int_{0}^{L}y^2(t)dt\leqslant(\frac{L}{2\pi})^2\int_{0}^{L}[y'(t)]^2 dt. \]
利用面积公式 \[ A=\frac{1}{2}\biggl|\int_{0}^{L}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]dt\biggr| \] 以及 Cauchy-Schwarz 不等式, 得
\[ \begin{split} A^2 &= \frac{1}{4}\biggl[\int_{0}^{L}(x(t)y'(t)-x'(t)y(t))dt\biggr]^2\\ &\leqslant \frac{1}{4}\int_{0}^{L}[x^2(t)+y^2(t)]dt\int_{0}^{L}[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt\\ &\leqslant \frac{1}{4}(\frac{L}{2\pi})^2\biggl(\int_{0}^{L}[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt\biggr)^2\\ &= \frac{1}{4}(\frac{L}{2\pi})^2 L^2, \end{split} \]
即 $A\leqslant\frac{L^2}{4\pi}$, 等号成立的条件可由 Cauchy-Schwarz 不等式和 Wirtinger 不等式等号成立的条件得到.
Remark. Cauchy-Schwarz 不等式是指 $|(x,y)|^2\leqslant \|x\|^2\|y\|^2$, 对任意 $x,y\in L^2(\Omega,\mu)$ 都成立. 这里 \[ \begin{split} &\biggl[\int_{0}^{L}(x(t)y'(t)-x'(t)y(t))dt\biggr]^2\\ =&\biggl[\int_{0}^{L}\langle(x(t),y(t)),(y'(t),-x'(t))\rangle dt\biggr]^2\\ \leqslant &\int_{0}^{L}\langle(x(t),y(t)),(x(t),y(t))\rangle dt\cdot \int_{0}^{L}\langle(y'(t),-x'(t)),(y'(t),-x'(t))\rangle dt\\ =&\int_{0}^{L}(x^2(t)+y^2(t))dt\int_{0}^{L}[(x'(t))^2+(y'(t))^2]dt. \end{split} \]
定理（Wirtinger 不等式）. 设 $f(x)$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的连续可微函数, 且 $f(-\pi)=f(\pi)$, 如果 \[ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=0, \] 则 \[ \int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx\leqslant\int_{-\pi}^{\pi}[f'(x)]^2 dx, \] 等号成立当且仅当 $f(x)=a\cos x+b\sin x$.
证明. 将 $f$ 延拓为 $(-\infty,+\infty)$ 上的周期函数, 周期为 $2\pi$. 则 $f$ 有 Fourier 展开 \[ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx), \] 其中 \[ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=0. \]
$f'(x)$ 的 Fourier 展开为 \[ f'(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}(nb_n\cos nx-na_n\sin nx). \]
根据 Parseval 等式, \[ \begin{split} \int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx&=\pi\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\\ &\leqslant\pi\sum_{n=1}^{\infty}(n^2 a_n^2+n^2 b_n^2)=\int_{-\pi}^{\pi}[f'(x)]^2 dx, \end{split} \]
等号成立当且仅当 $a_n=b_n=0$, $\forall\ n\geqslant 2$. 即仅当 $f(x)=a_1\cos x+b_1\sin x$ 时, 等号成立.
推论. 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的连续可微函数, 且 $f(a)=f(b)$, \[ \int_a^b f(x)dx=0, \] 则 \[ \int_a^b f^2(x)dx\leqslant(\frac{b-a}{2\pi})^2 \int_a^b [f'(x)]^2 dx, \] 等号成立当且仅当 $f(x)=c\cos\frac{2\pi}{b-a}x+d\sin\frac{2\pi}{b-a}x$.
证明. 利用线性变换 $x=x(t)=\frac{b-a}{2\pi}(t+\pi)+a$ 将区间 $[a,b]$ 上的函数变为 $[-\pi,\pi]$ 上的函数, 应用 Wirtinger 不等式即可.
事实上, 注意 $x'(t)=\frac{b-a}{2\pi}$, $t'(x)=\frac{2\pi}{b-a}$. \[ \begin{split} \int_a^b f^2(x)dx&=\int_{-\pi}^{\pi} [f(x(t))]^2 x'(t)dt\\ &=\frac{b-a}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g^2(t)dt\\ &\leqslant\frac{b-a}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}[g'(t)]^2 dt\\ &=\frac{b-a}{2\pi}\int_a^b [f'(x)x'(t)]^2 t'(x)dx\\ &=\int_a^b [f'(x)x'(t)]^2 dx\\ &=(\frac{b-a}{2\pi})^2\int_a^b [f'(x)]^2 dx. \end{split} \]
推论(Poincaré 不等式). 设 $f(x)$ 为 $[0,\pi]$ 上的连续可微函数, 且 $f(0)=f(\pi)=0$, 则 \[ \int_{0}^{\pi} f^2(x)dx\leqslant\int_{0}^{\pi}[f'(x)]^2 dx, \] 等号成立当且仅当 $f(x)=c\sin x$.
证明. 将 $f(x)$ 奇延拓为 $(-\infty,+\infty)$ 上周期为 $2\pi$ 的函数, 再应用 Wirtinger 不等式即可.
Remark: 奇延拓保证了 $\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=0$. 而再由条件 $f(0)=f(\pi)=0$ 可推出 $f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)$. 故可应用 Wirtinger 不等式.
设 $\gamma(t)=(x(t),y(t))\ (t\in[\alpha,\beta])$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上分段连续可微的简单闭曲线, 它围成的区域记为 $\Omega$. 在 Green 公式中取 \[ P(x,y)=-y,\quad Q(x,y)=x, \] 则得到如下面积公式
\[ \begin{split} \sigma(\Omega)&=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\ &=\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\ &=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]dt, \end{split} \] 其中参数 $t$ 选取的方向是逆时针的.
Remark. $(y'(t),-x'(t))$ 是曲线 $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ 的法向量, 与切向量 $(x'(t),y'(t))$ 垂直.
定理（Parseval 等式）. 设 $f\in R^2[-\pi,\pi]$, 且 $f$ 的 Fourier 展开为 \[ f\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n\sin nx), \] 则 \[ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x)dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2). \]
Remark. 这里 $R^2[-\pi,\pi]$ 中的函数 $f$ Riemann 可积, 或 $f$ 有瑕点但 $f^2$ 积分收敛. 显然 $R^2[-\pi,\pi]$ 是线性空间, 且若 $f,g\in R^2[a,b]$, 则仍有 Cauchy-Schwarz 不等式: \[ \int_a^b |f(x)g(x)|dx\leqslant\biggl[\int_a^b f^2(x)dx\biggr]^{\frac{1}{2}}\biggl[\int_a^b g^2(x)dx\biggr]^{\frac{1}{2}}. \]