The Poincaré Conjecture

John Milnor

poincare.pdf (claymath.org)

http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

1.  介绍

二维流形或曲面的拓扑在19世纪已经了解得很充分了. 事实上, 所有可能的光滑紧致可定向曲面都可以被列举出来. 任意这样一个曲面具有亏格 $g\geqslant 0$, 亏格可以被直观地描述为洞的个数; 并且两个具有相同亏格的曲面可以光滑地一一对应起来. 

但是高维的相应问题要困难得多.

Henri Poincaré 也许是第一个尝试对三维流形进行类似研究的数学家. 最基本的三维流形是三维单位球面, 即四维欧氏空间中到原点距离恒为 1 的点的轨迹, 可以用方程 $x^2+y^2+z^2+w^2=1$ 表示. 他注意到二维球面的一个特殊性质是球面上任意一个简单闭曲线都可以连续形变为一个点而不离开球面. 1904年, 他问了关于三维球面一个对应问题. 用更为现代的语言, 可以表述如下:

问题: 如果一个紧致三维流形 $M^3$ 中每条简单闭曲线都可以在内部连续形变为一个点, 是否可推出 $M^3$ 同胚于三维球面 $S^3$?

他相当有远见地评论道, "Mais cette question nous entraînerait trop loin." （但这个问题会让我们走得很远.）从那时起, 每个单连通的闭三维流形同胚于三维球面这一假设就成为了著名的 Poincaré conjecture.  从此, 拓扑学家受此问题启发, 并尝试去证明, 由此导致我们对流形拓扑的理解进步许多.

最初, 庞加莱猜想叙述之简单明了以至数学家们过分自信. 四年后, 也就是 1900 年, Poincaré 本人就成为第一个犯错的人, 他叙述了一个错误的定理, 表述如下.

错误定理.  每个紧致多面体流形若具有 $n$ 维球面的同调群, 则实际上同胚于 $n$ 维球面.

/* 该定理所表示的意思为:

* 设 $M^n$ 是多面体流形, 若 $H_k(M^n)\cong H_k(S^n)$, $\forall\ k=0,1,2,\ldots,n$. 则 $M^n$ 同胚于 $S^n$.

* 所谓的多面体流形 , 是指流形中的每个点实际上是多面体. 

*/

但是他1904年的一篇文章使用之前介绍过的基本群(fundamental group)概念为上述断言提供了一个漂亮的反例. 

这个反例可以用几何方式如下描述.

注:

这篇文章已经有翻译了, 见 [1] 第六章.

References:

佩捷、李莹英、郭梦舒 编著,  从庞加莱到佩雷尔曼 --庞加莱猜想的历史