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ABC 猜想

Posted by haifeng on 2015-10-22 07:47:43 last update 2017-12-19 09:11:40 | Answers (0) | 收藏

ABC 猜想(也称为 Oesterlé–Masser conjecture)

给定三个正整数 $a,b,c$, 假设它们没有超过 1 的公因子, 且满足 $a+b=c$. 若记 $d$ 为 $abc$ 的不同素因子的乘积, 则 $d$ 通常不会小于 $c$ 很多.

猜想提出者: Joseph Oesterlé (1988) and David Masser (1985).

望月新一（参见问题1066）

ABC 猜想的不同等价形式

ABC Conjecture

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在有限多个互素的三元组 $(a,b,c)$, 这里 $a,b,c$ 均是正整数且满足 $a+b=c$, 则有

\[
c > \Bigl[\mathrm{rad}(abc)\Bigr]^{1+\varepsilon}.
\]

Remark: 这里 $\mathrm{rad}(n)$ 指正整数 $n$ 中不同素因子的乘积, 比如 $\mathrm{rad}(18)=\mathrm{rad}(2\cdot 3^2)=2\cdot 3=6$.

一个等价的形式是

ABC Conjecture II

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在一常数 $K_{\varepsilon}$ 使得对所有满足 $a+b=c$ 的互素三元组 $(a,b,c)$, 有

\[
c < K_{\varepsilon}\cdot\Bigl[\mathrm{rad}(abc)\Bigr]^{1+\varepsilon}.
\]

第三个等价的形式与三元组 $(a,b,c)$ 的所谓 quality 有关. 这个 quality 定义为:

\[
q(a,b,c):=\frac{\log(c)}{\log(\mathrm{rad}(abc))}
\]

例如:

\[
q(4,127,131)=\frac{\log(131)}{\log(\mathrm{rad}(4\cdot 127\cdot 131))}=\frac{\log(131)}{\log(2\cdot 127\cdot 131)}\approx 0.468205
\]

\[
q(3,125,128)=\frac{\log(128)}{\log(\mathrm{rad}(3\cdot 125\cdot 128))}=\frac{\log(128)}{\log(\mathrm{rad}(3\cdot 5^3\cdot 2^7))}=\frac{\log(128)}{\log(30)}\approx 1.426565
\]

满足 $a+b=c$ 的互素三元组 $(a,b,c)$ 一般来说就和第一个例子一样满足 $c < \mathrm{rad}(abc)$, 也即 $q(a,b,c) < 1$.

\[
c < \mathrm{rad}(abc)\Leftrightarrow\log c < \log(\mathrm{rad}(abc))\Leftrightarrow\frac{\log c}{\log(\mathrm{rad}(abc))} < 1
\]

第二个例子是非常特殊的, 它们是由那些较小素数的高次方构成的数.

ABC Conjecture III

对每个 $\varepsilon > 0$, 存在有限多个互素三元组 $(a,b,c)$, 满足 $a+b=c$, 使得

\[
q(a,b,c) > 1+\varepsilon.
\]

然而, 已经知道的是有无穷多个互素三元组 $(a,b,c)$, 满足 $a+b=c$, 使得 $q(a,b,c) > 1$ 成立.

这个猜想预测道, 仅有有限个这样的三元组 $(a,b,c)$ 满足 $q > 1.01$ 或 $q > 1.001$, 或甚至 $q > 1.0001$ 等等. 特别的, 如果此猜想成立, 则必存在一个三元组 $(a,b,c)$ 取得最大的 $q(a,b,c)$.

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