问题及解答

任何一个偶数维(实)向量空间都可赋予一个线性复结构.

Remark:

有了这个结果后, 任意一个偶数维(实)微分流形在每一点的切空间上都存在线性复结构. 或者说, 在流形上存在一个 pointwise 张量场 $J$, 使得在每一点处都有 $J_x^2=-\mathrm{id}$. 剩下的就是能否将它们拼接成整体的张量场, 从而成为流形上的近复结构, 并且随之而来的问题的是这样的近复结构是否惟一?

这个问题等价于结构群的约化问题, 即切丛的结构群 $GL(2n,\mathbb{R})$ 到 $GL(n,\mathbb{C})$ 的约化.