问题及解答

设 $U$ 是非奇异实矩阵, 则存在正交矩阵 $O$ 和某个正定矩阵 $P$, 使得 $U=PO=OP$. 并且这个表示法是唯一的.

若 $U$ 是辛矩阵, 则 $P$ 和 $O$ 都是辛矩阵.

由于 $U$ 非奇异, 故 $U^T U$ 正定. (参见问题910)

因此存在正定矩阵 $P$ (正定矩阵当然是对称的, 所以 $P^T=P$), 使得 $U^T U=P^2$.

令 $O=UP^{-1}$, 则

\[O^T O=(UP^{-1})^T UP^{-1}=(P^{-1})^T U^T UP^{-1}=(P^T)^{-1}P^2 P^{-1}=I\]

因此, $O$ 是正交矩阵, 且 $OP=U$.

类似的, 若令 $B=P^{-1}U$, 则

\[B B^T=P^{-1}U(P^{-1}U)^T=P^{-1}UU^T(P^{-1})^T=(P^T)^{-1}P^2 P^{-1}=I\]