问题及解答

设 $M$ 是 $n$-维紧致可定向流形, 则 de Rham 上同调群 $H^n(M)\neq 0$.

$M$ 是可定向的, 因此存在一个处处非零的 $n$-形式 $\theta$. $\theta$ 显然是闭形式, 因为不存在 $n+1$ 形式(都约定为 0). 因此 $\theta$ 定义了一个上同调类 $[\theta]\in H^n(M)$.

在流形 $M$ 上取 $\theta$ 给出的定向, 并积分, 得

\[\int_M\theta=\sum\int f_i dx_1 dx_2\cdots dx_n\]

这个积分是正的, 因为每个 $f_i\geqslant 0$ 且在某处为正.

若上同调类 $[\theta]=0$, 则 $\theta=d\omega$. 但是由 Stokes 定理

\[\int_M\theta=\int_M d\omega=0,\]

矛盾. 因此 $[\theta]\neq 0$, 即 $H^n(M)\neq 0$.

Reference:

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.2b 2010.