问题及解答

设 $M$ 是紧致可定向黎曼流形, $\alpha$ 是 $M$ 上的 $p$-形式, 则

• $\alpha$ 是调和形式当且仅当 $d\alpha=0$ 且 $d^*\alpha=0$.
• 在每个 de Rham 上同调类中, 存在至多一个调和形式.

References:

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.2b 2010.

(1) 若 $d\alpha=0$ 且 $d^*\alpha=0$, 则 $\Delta\alpha=(dd^*+d^*d)\alpha=0$.

反之, 设 $\Delta\alpha=0$, 则

\[0=\int_M(\Delta\alpha,\alpha)\omega=\int_M((dd^*+d^*d)\alpha,\alpha)\omega=\int_M(d^*\alpha,d^*\alpha)\omega+\int_M(d\alpha,d\alpha)\omega.\]

由于最后两项的积分都是非负的, 故 $d\alpha=d^*\alpha=0$.

(2) 假设 $\alpha,\alpha\'$ 是同一个上同调类中的两个调和形式, 则

\[\alpha-\alpha\'=d\beta.\]

但此时

\[0=d^*\alpha-d^*\alpha\'=d^* d\beta\]

故

\[
0=\int_M(d^*d\beta,\beta)\omega=\int_M(d\beta,d\beta)\omega.
\]

这推出 $d\beta=0$, 从而 $\alpha=\alpha\'$.