问题及解答

$S^n$ 具有处处不为 0 的切向量场的充要条件是: $n$ 是奇数.

换言之, 偶数维球面 $S^{2m}$ 上的每一个向量场都有一点处为零(向量).

References:

张筑生 编著 《微分拓扑讲义》 北京大学出版社. P.185 习题 I.7

Nigel Hitchin, Differentiable Manifolds, Course C3.1b 2012. [P63. Theorem 7.4] [pdf]

(方法一)

(方法二)

用反证法, 假设 $S^{2m}$ 上存在处处非零的向量场 $V$. 由于 $S^{2m}$ 嵌入欧氏空间 $\mathbb{E}^{2m+1}$, 因此向量场 $V$ 可以看成下面的映射

\[V:\ S^{2m}\rightarrow\mathbb{E}^{2m+1},\quad \langle x,V(x)\rangle=0\]

由于 $V(x)\neq 0$, $\forall\ x\in S^{2m}$, 因此不妨将它单位化, 所得的向量场仍记为 $V$.

现在定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
F_t:\ S^{2m}&\rightarrow&\mathbb{E}^{2m+1}\\
x&\mapsto&(\cos t)x+(\sin t)V(x).
\end{array}
\]

由于 $\langle x,V(x)\rangle=0$, 故

\[\bigl\langle(\cos t)x+(\sin t)V(x),(\cos t)x+(\sin t)V(x)\bigr\rangle=1\]

因此, $F_t$ 将单位球面 $S^{2m}$ 映到自身, 并且

\[F_0(x)=x,\qquad F_\pi(x)=-x.\]

令 $\omega$ 是 $S^{2m}$ 上的标准可定向微分形式:

\[\omega=\frac{1}{x_{2m+1}}dx_1\wedge dx_2\wedge\cdots\wedge dx_{2m}.\]

我们看到

\[F_{0}^{*}\omega=\omega,\qquad F_{\pi}^{*}\omega=-\omega.\]

但由 Theorem 6.7, 映射 $F_0^*$, $F_\pi^*$ 在 $H^{2m}(S^{2m})$ 上是一样的. 这推出

\[[\omega]=[-\omega]=-[\omega]\]

因此 $[\omega]=0$. 这与 $\omega$ 在 $S^{2m}$ 上的积分为正矛盾. 因此 $S^{2m}$ 上的向量场必有零点.