Answer
问题及解答
1
设 $O$ 是 $2n$ 阶辛矩阵, 即满足 $O^T J_n O=J_n$, 其中 $J_n=\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}$. 将 $O$ 写成分块矩阵的形式,
\[O=\begin{pmatrix}A &B\\ C& D\end{pmatrix}\]
于是
\[
\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A &B\\ C& D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}
\]
这推出
\[
\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C &D\\ -A& -B\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}\tag{$*$}
\]
即
\[\begin{pmatrix}A^T C-C^T A &A^T D-C^T B\\ B^T C-D^T A& B^T D-D^T B\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}\]
因此
\[
\begin{cases}
A^T C=(A^T C)^T\\
B^T D=(B^T D)^T\\
A^T D-C^T B=I_n
\end{cases}
\]
又 $O$ 是正交矩阵, 因此 $O^T O=I_{2n}$. 这里不展开计算, 而是对 $(*)$ 式右乘以 $J_n$, 得
\[
\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C &D\\ -A& -B\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}^2=-I_{2n}
\]
这推出
\[
\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -D &C\\ B& -A\end{pmatrix}=-I_{2n}
\]
即有
\[
\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} D & -C\\ -B& A\end{pmatrix}=I_{2n}
=\begin{pmatrix}A^T & C^T\\ B^T & D^T\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}
\]
由于 $O$ 可逆, 两边左乘以 $(O^T)^{-1}$, 即得
\[
\begin{pmatrix} D & -C\\ -B& A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A & B\\ C & D\end{pmatrix}
\]
因此 $D=A$, $C=-B$,
\[O=\begin{pmatrix}A & B\\ -B & A\end{pmatrix}\]
并且
\[A^T A+B^T B=I_n,\quad A^T B=(A^T B)^T.\]
另一方面, $n$ 阶复矩阵 $C=A+iB$ (其中 $A,B$ 是 $n$ 阶实方阵) 是酉矩阵当且仅当
\[\overline{C}^T C=\overline{A+iB}^T (A+iB)=I_n\]
这推出
\[A^T A+B^T B+i(A^T B- B^T A)=I_n\]
即
\[A^T A+B^T B=I_n,\quad A^T B=(A^T B)^T.\]
因此, 我们证明了
\[\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})\cap\mathrm{O}(2n,\mathbb{R})\cong U(n).\]