问题及解答

$\pi_1(\mathbb{R}P^n)=\mathbf{Z}_2$, $n\geqslant 2$.

设 $p:\ S^n\rightarrow\mathbb{R}P^n$ 是粘合映射(即粘合每一对对径点), 则 $p$ 是复叠映射, 叶数为 2.

当 $n\geqslant 2$ 时, $S^n$ 是单连通的. 而映射

\[p_\pi:\ \pi_1(S^n,e)\rightarrow\pi_1(\mathbb{R}P^n,b)\]

是单同态, 故 $H_e:=p_\pi(\pi_1(S^n,e))$ 是 $\pi_1(\mathbb{RP}^3,b)$ 平凡子群.

又根据命题, $H_e$ 在 $\pi_1(\mathbb{RP}^3,b)$ 中的指数 $[\pi_1(\mathbb{RP}^3,b):H_e]$ 等于复叠映射 $p$ 的叶数 2, 故 $\pi_1(\mathbb{RP}^3,b)$ 有两个元素, 从而 $\pi_1(\mathbb{RP}^3,b)\cong\mathbf{Z}_2$.

References:

尤承业, 基础拓扑学讲义, 北京大学出版社. 2001