问题及解答

设 $K$ 是欧氏空间中的有限复形, $L$ 是其闭子复形. 记 $P=|K|\times I$, $Q=|K|\times\{0\}\cup |L|\times I$, 则 $Q$ 是 $P$ 的收缩核.

从最简单的情形考虑, 也就是首先证明命题对于 $|K|$ 是单形时成立. 而我们知道单形从拓扑上同胚于球, 如果对于 $B^n$, 证明相应的结论, 就可以了.

事实上, 我们有下面的引理(见问题809).

Lem 1. $B^n\times\{0\}\cup S^{n-1}\times I$ 是 $B^n\times I$ 的收缩核. (这里 $n\geqslant 1$.)

这个引理不仅对 $B^n$ 成立, 对于 $n$ 维单形也是成立的. 若 $\sigma^n$ 是 $n$ 维单形, 则有

Lem 2. $\sigma^n\times\{0\}\cup\partial\sigma^n\times I$ 是 $\sigma^n\times I$ 的收缩核. (这里 $n\geqslant 1$.)