问题及解答

设 $M$ 是流形, 若恒同映射 $\text{id}:M\rightarrow M$ 同伦于常值映射 $f_b:M\rightarrow\{b\}$. 则称 $M$ 是可缩的(contractible). ($M$ 可缩至 $b$.)

例:

$\mathbb{R}^n$ 中任意星形开集 $U$ 都是可缩的.

任取 $b\in U$, $U$ 到 $b$ 点的同伦可取为 $H(x,t)=(1-t)x+tb$.

性质:

可缩空间的基本群是 $\{e\}$(或写成 $\{1\}$), 即只含有单位元的平凡群. 从而可缩空间是单连通的.

但是单连通并不意味着可缩, 比如 $S^n$, $n>1$ 都不是可缩的, 但其基本群是 $\{e\}$.

设 $M$ 可缩至一点 $b$, 任取以 $b$ 为基点的回路 $f$, 则 $f$ 可在映射

\[\widetilde{H}(t,s):=H(f(s),t)\]

之下同伦于 $e_b$. 其中 $H(f(s),t)$ 是 $\text{id}:M\rightarrow M$ 到常值映射 $f_b:M\rightarrow\{b\}$ 的同伦.

因此, 基本群 $\pi_1(M,b)=\{e\}$.

由于 $M$ 可缩至一点, 因此显然道路连通. 根据问题799, $M$ 上任意闭曲线可以连续形变为一点. 因此 $M$ 是单连通的.

或者可再次应用同伦 $H$, 直接证明任意闭曲线可以连续形变为一点.

或者按照连通且仅有零伦类的定义.