问题及解答

设 $M_1$ 和 $M_2$ 是两个流形, 并且同胚. $F:M_1\rightarrow M_2$ 是同胚映射, 且 $F(b_1)=b_2$. 则 $F_*$ 是基本群 $\pi_1(M_1,b_1)$ 与 $\pi_1(M_2,b_2)$ 之间的同构.

这也表明基本群确实是一个拓扑不变量.

设 $G:M_2\rightarrow M_1$ 是 $F$ 的逆映射, 则

\[F_*\circ G_*=(F\circ G)_*=\text{id}_*=\text{id},\]

\[G_*\circ F_*=(G\circ F)_*=\text{id}_*=\text{id},\]

因此 $F_*:\ \pi_1(M_1,b_1)\rightarrow\pi_1(M_2,b_2)$, $G_*:\ \pi_1(M_2,b_2)\rightarrow\pi_1(M_1,b_1)$ 均是同构.