问题及解答

基本群(fundamental group) 是拓扑空间或流形的一个非常重要的不变量. 基本群的定义不一定非要限制于流形. 不过为了方便起见, 下面总是在流形上定义.

假设 $M$ 是流形, $b$ 是 $M$ 上的一个固定点. 记 $\pi_1(M,b)$ 为 $M$ 上以 $b$ 为基点的所有回路的同伦类组成的集合.

由于有下面的性质(见问题798)

(iii) 若 $f_1\sim f_2$, 且 $g_1\sim g_2$, 则 $f_1*g_1\sim f_2*g_2$.

因此, 可以定义同伦类之间的乘法: $[f][g]:=[f*g]$.

[Thm & Def] $\pi_1(M,b)$ 在同伦类乘法下是一个群, 称为流形 $M$ 的基本群(也叫做 Poincaré 群).

Pf. 乘法的结合律可由(i) $f*(g*h)\sim(f*g)*h$. 及(iii) 推出. 即有 $[f]*([g]*[h])=([f]*[g])*[h]$. 性质

(ii) 设 $f(1)=b=g(0)$, 且设 $f=e_b$. 则 $e_b *g\sim g$. 类似地, 若 $g=e_b$. 则 $f*e_b\sim f$.

保证了单位元的存在性; 性质

(iv) 若 $g(s)=f(1-s)$, 且 $a=f(0)$, $b=f(1)$, 则 $f*g\sim e_a$ 且 $g*f\sim e_b$.

保证了逆元的存在性. 因此 $\pi_1(M,b)$ 是一个群.   Q.E.D.

基本群的性质

设 $M$, $N$, $P$ 都是流形.

(1) 若 $F:M\rightarrow N$ 是连续映射, 则 $F$ 确定了一个同态:

\[
\begin{array}{rcl}
F_*:\ \pi_1(M,b)&\rightarrow&\pi_1(N,F(b))\\
[f]&\mapsto&[F\circ f]
\end{array}
\]

(2) 若 $G:M\rightarrow N$ 与 $F:M\rightarrow N$ 是 $(M,b)$ 到 $(N,F(b))$ 的相对同伦, 则 $F_*=G_*$.

(3) 若 $F:M\rightarrow M$ 是 $M$ 上的恒等映射, 则 $F_*:\ \pi_1(M,b)\rightarrow\pi_1(M,b)$ 是恒等同构.

(4) 若 $G:M\rightarrow N$ 与 $F:N\rightarrow P$ 都是连续映射. 则 $(F\circ G)_*=F_*\circ G_*$.

(1) 回忆问题798中的性质(v)

(v) 设 $F:M\rightarrow N$ 是两个流形之间的连续映射, 且记 $f\'=F\circ f$, $g\'=F\circ g$, 即 $f\'$, $g\'$ 是 $N$ 中的两条道路. 则 $(f*g)\'=f\'*g\'$.

故有

\[
\begin{split}
F_*([f])F_*([g])&=[F\circ f][F\circ g]\\
&=[(F\circ f)*(F\circ g)]\\
&=[f\'*g\']=[(f*g)\']\\
&=[F\circ(f*g)]\\
&=F_*([f*g])\\
&=F_*([f][g]).
\end{split}
\]

因此, $F_*$ 是一个同态.

(2) 任取 $M$ 中的一条回路 $f$. 若 $H:\ M\times I\rightarrow N$ 是 $F$ 和 $G$ 之间的(相对)同伦, 则

\[\widetilde{H}(t,s):=H(f(s),t)\]

是 $F\circ f$ 和 $G\circ f$ 之间的同伦, 因此 $[F\circ f]=[G\circ f]$, 即 $F_*([f])=G_*([f])$.

注意: 我们约定, 道路之间的同伦第一个参数是 $t$.

(3) 和 (4) 根据 $F_*$ 的定义即可推出. 任取 $[f]\in\pi_1(M,b)$.

若 $F=\text{id}$, 则 $F_*([f])=[F\circ f]=[f]$.

\[
(F\circ G)_*([f])=[(F\circ G)\circ f]=[F\circ(G\circ f)],
\]

\[
(F_*\circ G_*)([f])=F_*(G_*([f]))=F_*([G\circ f])=[F\circ(G\circ f)],
\]

因此, $(F\circ G)_*=F_*\circ G_*$.