[Def]道路的同伦, 回路的同伦, 单连通
作为同伦概念的第一个应用, 我们考虑单位区间 $I=[0,1]$ 到流形 $M$ 的所有连续映射的同伦类.
Def(道路 path). 称连续映射 $f:I\rightarrow M$ 是 $M$ 中从 $f(0)$ 出发到终点 $f(1)$ 的一条道路.
我们将考虑所谓的定点同伦, 即这里的道路同伦映射 $H(t,x)$ 保持起始点和终点不动. (注意这里映射 $H$ 的写法与定义中的可能不一致, 但无关紧要.) 也即, $H(t,0)=b$, $H(t,1)=d$, $\forall\ t\in I$. $b, d$ 是 $M$ 中的两个固定点.
定点同伦实际上 $(I,\{0,1\})$ 到 $(M,\{b,d\})$ 的相对同伦.
给定流形 $M$, 固定基点 $b\in M$. 考虑以 $b$ 为起始点的所有道路. 如果 $b$ 同时也是终点, 则称此道路为回路(loop). 于是回路指连续映射 $f:I\rightarrow M$, 满足 $f(0)=b=f(1)$.
上面关于回路的定义加入了基点, 即特别指明了起始点和终点. 简洁地说.
Def(回路, loop). 终点与起点相同的道路称为回路. 即连续映射 $f:I\rightarrow M$, 满足 $f(0)=f(1)$.
如果此连续映射是常值映射, 则称为常值道路, 特记为 $e_b(s)\equiv b$, $0\leqslant s\leqslant 1$.
记道路 $f$ 的同伦类为 $[f]$, 这里我们总是指相对同伦. 在这些同伦类中有一个特殊的同伦类, 即同伦于常值道路的同伦类, 称它为零伦类.
Def(单连通, simply connected). 如果 $M$ 上仅有零伦类, 并且 $M$ 是连通的, 则称 $M$ 是单连通的.
这意味着, 以 $b$ 为基点的任意回路可在 $M$ 中连续形变为常值回路. 容易验证这个性质与基点 $b$ 的选取无关.(见问题799.)
并且 $M$ 是单连通的, 等价于说 $M$ 上任意闭曲线(指 $S^1$ 的连续映射像)可在 $M$ 上连续形变为一个点.
从代数拓扑的观点, 道路、回路以及它们的同伦类在研究空间时是非常有用的. 因为一个重要的目标是要对所研究的空间赋予一个代数对象, 比如群, 并且这个代数对象在这个空间的同胚变换下是不变的, 只和该空间的拓扑有关. 从而可用于“表征”空间的拓扑特征.
这里我们将研究对象限制为流形, 只是为了方便起见, 而非必要的.
设 $M$ 是一个连通流形, $f,g$ 是 $M$ 上的两条道路, $f$ 的终点与 $g$ 的起点是同一点, 即 $f(1)=g(0)$. 我们可以将这两条道路衔接在一起, 并成新的一条道路, 只需重新参数化:
\[h(s)=
\begin{cases}
f(2s), & 0\leqslant s\leqslant\frac{1}{2},\\
g(2s-1), & \frac{1}{2}\leqslant s\leqslant 1.
\end{cases}
\]
由粘合引理, $h:I\rightarrow M$ 是连续映射. 我们称 $h$ 是 $f$ 和 $g$ 的乘积, 记为 $h=f*g$. 这个乘积具有下述性质:
(i) $f*(g*h)\sim(f*g)*h$.
(ii) 设 $f(1)=b=g(0)$, 且设 $f=e_b$. 则 $e_b *g\sim g$. 类似地, 若 $g=e_b$. 则 $f*e_b\sim f$.
(iii) 若 $f_1\sim f_2$, 且 $g_1\sim g_2$, 则 $f_1*g_1\sim f_2*g_2$.
(iv) 若 $g(s)=f(1-s)$, 且 $a=f(0)$, $b=f(1)$, 则 $f*g\sim e_a$ 且 $g*f\sim e_b$.
(v) 设 $F:M\rightarrow N$ 是两个流形之间的连续映射, 且记 $f\'=F\circ f$, $g\'=F\circ g$, 即 $f\'$, $g\'$ 是 $N$ 中的两条道路. 则 $(f*g)\'=f\'*g\'$.
Remark: 这里约定同伦映射 $H$ 中第一个参数是形变参数 $t$. 即写成 $H(t,x)$.
References:
译自:
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition.
其他参考书:
尤承业, 基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.