问题及解答

证明: 平面上至少存在一圆周不含有理点.

(反证法) 假设平面上任意一个圆周都包含有理点.

记 $B(p,r_p)$ 为以 $p$ 为中心, $r_p > 0$ 为半径的圆. 则取 $[0,\pi]\times\{0\}$ 上的所有无理点, 构成的集合记为 $A$. 以它们为中心, 做圆, 使得它们仅在 $(\pi,0)$ 处相切. 具体的, 考虑下述圆族:

\[\{B(x,\pi-x)\mid x\in A\}.\]

则这些圆交点只有一个, 即 $(\pi,0)$. 由于每个圆至少含有一个有理点. 故平面上有理点的个数是不可数个, 矛盾.