问题及解答

设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n+1}-a_n|$ 收敛, 则数列 $\{a_n\}$ 收敛.

[Hint] 利用 Cauchy 准则.

回忆:

数列极限的Cauchy准则是:

$\{a_n\}$ 收敛当且仅当 $\forall\ \epsilon > 0$, $\exists\ N > 0$, 当 $n > N$ 时, 对任意的 $p>0$, 有

\[
|a_{n+p}-a_n| < \epsilon
\]

或者写为对于任意的 $m,n > N$, 有 $|a_m-a_n| < \epsilon$.

注意数列极限的 Cauchy 准则可以推出级数收敛的 Cauchy 准则:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛当且仅当

$\forall\ \epsilon > 0$,  $\exists\ N > 0$, 当 $n > N$ 时, 对任意的 $p>0$, 有

\[
|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}| < \epsilon
\]

References

梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社, 2011. (习题 8.1, P.277.  第4题  )

令 $b_n=|a_{n+1}-a_n|$, 则根据条件, 任给 $\varepsilon>0$, 存在 $N>0$, 当 $n>N$ 时,

\[
|b_{n+1}+b_{n+2}+\cdots+b_{n+p}|<\varepsilon
\]

即

\[\bigl||a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+3}-a_{n+2}|+\cdots+|a_{n+p+1}-a_{n+p}|\bigr|<\varepsilon\]

这推出

\[\bigl|(a_{n+2}-a_{n+1})+(a_{n+3}-a_{n+2})+\cdots+(a_{n+p+1}-a_{n+p})\bigr|<\varepsilon\]

即

\[|a_{n+p+1}-a_{n+1}|<\varepsilon\]

由数列的 Cauchy 收敛准则, 可知 $\{a_n\}$ 收敛.