问题及解答

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011.

Idea. 利用 Cauchy 准则.

对于 $n$ 个数, 

\[
\begin{split}
\biggl|\frac{a_{n+1}}{n+1}+\frac{a_{n+2}}{n+2}+\cdots+\frac{a_{2n}}{n+n}\biggr|&\leqslant\biggl|\frac{a_{n+1}}{n+1}\biggr|+\biggl|\frac{a_{n+2}}{n+2}\biggr|+\cdots+\biggl|\frac{a_{2n}}{n+n}\biggr|\\
&<\frac{|a_{n+1}|}{n}+\frac{|a_{n+2}|}{n}+\cdots+\frac{|a_{2n}|}{n}\\
&\leqslant\sqrt{\frac{a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n}^2}{n}}
\end{split}
\]

由于 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2$ 收敛, 故任给 $\varepsilon>0$, 存在 $N$, 当 $n>N$ 时

\[
|a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n}^2|<\varepsilon.
\]

由于

\[
\frac{|a_n|}{n}\leqslant\frac{1}{2}\Bigl(a_n^2+\frac{1}{n^2}\Bigr),
\]

而级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 均收敛, 故 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{n}$ 也收敛. 这推出 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ 收敛.

由柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwartz Inequality),

\[
\Bigl(\sum_{k=1}^{n}\frac{|a_k|}{k}\Bigr)^2\leqslant\Bigl(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\Bigr)\Bigl(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\Bigr),
\]

即

\[
S_n:=\sum_{k=1}^{n}\frac{|a_k|}{k}\leqslant\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\cdot\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}}.
\]

可知 $\{S_n\}$ 有上界, 故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}{n}$ 收敛, 从而 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}$ 收敛.