问题及解答

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社, 2011.

Idea. 利用 Cauchy 准则.

对于 $n$ 个数, 

\[
\begin{split}
\biggl|\frac{a_{n+1}}{n+1}+\frac{a_{n+2}}{n+2}+\cdots+\frac{a_{2n}}{n+n}\biggr|&\leqslant\biggl|\frac{a_{n+1}}{n+1}\biggr|+\biggl|\frac{a_{n+2}}{n+2}\biggr|+\cdots+\biggl|\frac{a_{2n}}{n+n}\biggr|\\
&<\frac{|a_{n+1}|}{n}+\frac{|a_{n+2}|}{n}+\cdots+\frac{|a_{2n}|}{n}\\
&\leqslant\sqrt{\frac{a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n}^2}{n}}
\end{split}
\]

由于 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n^2$ 收敛, 故任给 $\varepsilon>0$, 存在 $N$, 当 $n>N$ 时

\[
|a_{n+1}^2+a_{n+2}^2+\cdots+a_{2n}^2|<\varepsilon.
\]